ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Упростим степени по свойствам $(a^n{)}^m=a^{nm}$ и $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$:

$$4^x=2^{2x}={\left(2^x\right)}^2,2^{x+1}=2\cdot 2^x.$$

Тогда $3\cdot 2^{x+1}=6\cdot 2^x$. Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$:

$$\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-46}{t-8}⩽t+5.$$

Знаменатели не равны нулю: $t\ne 5$, $t\ne 8$.

Выделим целую часть первой дроби. Так как $(t-5)(t-1)=t^2-6t+5$, числитель можно записать в виде $t^2-6t+4=(t-5)(t-1)-1$. Значит,

$$\frac{t^2-6t+4}{t-5}=t-1-\frac{1}{t-5}.$$

Выделим целую часть второй дроби. Так как $6t-46=6(t-8)+2$, то

$$\frac{6t-46}{t-8}=6+\frac{2}{t-8}.$$

Подставим в неравенство и перенесём $t+5$ влево:

$$t-1-\frac{1}{t-5}+6+\frac{2}{t-8}-t-5⩽0.$$

Слагаемые без дробей взаимно уничтожаются: $t-1+6-t-5=0$. Остаётся

$$\frac{2}{t-8}-\frac{1}{t-5}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-8)(t-5)$:

$$\frac{2(t-5)-(t-8)}{(t-8)(t-5)}⩽0\iff \frac{2t-10-t+8}{(t-8)(t-5)}⩽0\iff \frac{t-2}{(t-8)(t-5)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=2$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=5$ и $t=8$ выкалываем. Правее $8$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $t⩽2$ или $5<t<8$. Учтём условие $t>0$:

$$0<t⩽2\text{или}5<t<8.$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $2^x>0$ верно при всех $x$. Запишем $2=2^1$, $8=2^3$ и по основному логарифмическому тождеству $5=2^{{\log }_{2}5}$. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{2}^x⩽2^1,\\ 2^{{\log }_{2}5}<2^x<2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ {\log }_{2}5<x<3.\end{array}$$

Так как $4<5<8$, то $2<{\log }_{2}5<3$, и промежутки расположены в таком порядке.

Ответ: $(-\infty ;1]\cup ({\log }_{2}5;3)$.