ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем числитель. Обозначим $a=3^{x+1}$. Тогда по свойствам степени

$$27^{x+1}={\left(3^{x+1}\right)}^3=a^3,3\cdot 9^{x+1}=3{\left(3^{x+1}\right)}^2=3a^2,3^{x+2}=3\cdot 3^{x+1}=3a.$$

Числитель равен $a^3-3a^2+3a-1$. Это формула куба разности $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ при $b=1$:

$$27^{x+1}-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+2}-1={\left(3^{x+1}-1\right)}^3.$$

Преобразуем знаменатель. Вынесем $12,5$ за скобку и применим формулу квадрата суммы:

$$50x^2+50x+12,5=12,5\left(4x^2+4x+1\right)=12,5(2x+1{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{{\left(3^{x+1}-1\right)}^3}{12,5(2x+1{)}^2}⩾0.$$

Знаменатель обращается в ноль при $x=-\frac{1}{2}$, а при остальных $x$ он положителен. Дробь с положительным знаменателем неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель:

$$\{\begin{array}{l}{\left(3^{x+1}-1\right)}^3⩾0,\\ x\ne -\frac{1}{2}.\end{array}$$

Применим рационализацию. Нечётная степень сохраняет знак, поэтому знак ${\left(3^{x+1}-1\right)}^3$ совпадает со знаком $3^{x+1}-3^0$. Функция $y=3^x$ возрастает (основание $3>1$), значит, разность $3^{x+1}-3^0$ имеет тот же знак, что и разность показателей $(x+1)-0$. Система равносильна

$$\{\begin{array}{l}x+1⩾0,\\ x\ne -\frac{1}{2}.\end{array}$$

Отметим это на прямой методом интервалов для выражения $\frac{(x+1{)}^3}{(2x+1{)}^2}$: точку $-1$ закрашиваем, точку $-\frac{1}{2}$ выкалываем. Через $-1$ знак меняется (нечётная степень), через $-\frac{1}{2}$ — нет (чётная степень).

Ответ: $\left[-1;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.