ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Знаменатель первой дроби не равен нулю: $5^x\ne 1$, то есть $x\ne 0$.

По свойству степени $(a^n{)}^m=(a^m{)}^n$ имеем $25^x={\left(5^x\right)}^2$ и $125^x={\left(5^x\right)}^3$. Сделаем замену $t=5^x$, где $t>0$ и $t\ne 1$:

$$2\cdot \frac{t^3-1}{t-1}+\frac{12}{t^2+t+1}⩽11.$$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1).$$

При $t\ne 1$ первую дробь можно сократить на $t-1$. Получаем равносильную систему:

$$\{\begin{array}{l}2(t^2+t+1)+\frac{12}{t^2+t+1}⩽11,\\ t>0,t\ne 1.\end{array}$$

Сделаем вторую замену $u=t^2+t+1$. При $t>0$ имеем $u>1>0$. Неравенство принимает вид

$$2u+\frac{12}{u}⩽11.$$

Так как $u>0$, умножим обе части на $u$ — знак неравенства сохранится:

$$2u^2-11u+12⩽0.$$

Дискриминант $D=121-96=25=5^2$, корни $u=\frac{11\pm 5}{4}$, то есть $u=\frac{3}{2}$ и $u=4$. Значит, $(2u-3)(u-4)⩽0$:

Получаем $\frac{3}{2}⩽u⩽4$. Вернёмся к переменной $t$:

$$\frac{3}{2}⩽t^2+t+1⩽4\iff \{\begin{array}{l}{t}^2+t-\frac{1}{2}⩾0,\\ t^2+t-3⩽0.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Умножим его на $2$: $2t^2+2t-1⩾0$. Дискриминант $D=4+8=12$, корни $t=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$:

$$t⩽\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\text{или}t⩾\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Решим второе неравенство. Дискриминант уравнения $t^2+t-3=0$ равен $D=1+12=13$, корни $t=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$:

$$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}⩽t⩽\frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$

Теперь пересечём оба решения с условиями $t>0$, $t\ne 1$. Отрицательные корни $\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ отбрасываются условием $t>0$. Сравним положительные корни с единицей: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}<1$, так как $\sqrt{3}<3$, и $\frac{\sqrt{13}-1}{2}>1$, так как $\sqrt{13}>3$. Получаем

$$t\in \left[\frac{\sqrt{3}-1}{2};1\right)\cup \left(1;\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right].$$

Сделаем обратную замену $t=5^x$. Запишем $1=5^0$, а по основному логарифмическому тождеству $\frac{\sqrt{3}-1}{2}=5^{{\log }_5\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$ и $\frac{\sqrt{13}-1}{2}=5^{{\log }_5\frac{\sqrt{13}-1}{2}}$. Функция $y=5^x$ возрастает, так как $5>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{5}^{{\log }_5\frac{\sqrt{3}-1}{2}}⩽5^x<5^0,\\ 5^0<5^x⩽5^{{\log }_5\frac{\sqrt{13}-1}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}{\log }_5\frac{\sqrt{3}-1}{2}⩽x<0,\\ 0<x⩽{\log }_5\frac{\sqrt{13}-1}{2}.\end{array}$$

Ответ: $\left[{\log }_5\frac{\sqrt{3}-1}{2};0\right)\cup \left(0;{\log }_5\frac{\sqrt{13}-1}{2}\right]$.