Решите неравенство (2·3^(2x+1)-7·6^x+2·4^x)/(3·9^x-3^x·2^(x+1))-1≤0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Показательные неравенства средняя 2024 развёрнутое

Решите неравенство

$\frac{2 \cdot 3 ^{2 x + 1} - 7 \cdot 6 ^{x} + 2 \cdot 4 ^{x}}{3 \cdot 9 ^{x} - 3 ^{x} \cdot 2 ^{x + 1}} - 1 ⩽ 0.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Распишем степени по свойствам $a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}$ и $a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n}$ :

$3^{2 x + 1} = 3 \cdot 9^{x}, 3^{x} \cdot 2^{x + 1} = 2 \cdot 3^{x} \cdot 2^{x} = 2 \cdot 6^{x} .$

Неравенство принимает вид

$\frac{6 \cdot 9 ^{x} - 7 \cdot 6 ^{x} + 2 \cdot 4 ^{x}}{3 \cdot 9 ^{x} - 2 \cdot 6 ^{x}} - 1 ⩽ 0.$

Приведём левую часть к общему знаменателю: из числителя вычтем знаменатель.

$\frac{6 \cdot 9 ^{x} - 7 \cdot 6 ^{x} + 2 \cdot 4 ^{x} - 3 \cdot 9 ^{x} + 2 \cdot 6 ^{x}}{3 \cdot 9 ^{x} - 2 \cdot 6 ^{x}} ⩽ 0 \Leftrightarrow \frac{3 \cdot 9 ^{x} - 5 \cdot 6 ^{x} + 2 \cdot 4 ^{x}}{3 \cdot 9 ^{x} - 2 \cdot 6 ^{x}} ⩽ 0.$

Разделим числитель и знаменатель дроби на $4^{x} > 0$ — значение дроби не изменится. Так как $\frac{9 ^{x}}{4 ^{x}} = (\frac{9}{4})^{x} = ((\frac{3}{2})^{x})^{2}$ и $\frac{6 ^{x}}{4 ^{x}} = (\frac{3}{2})^{x}$ , удобно сделать замену $t = (\frac{3}{2})^{x}$ , где $t > 0$ :

$\frac{3 t ^{2} - 5 t + 2}{3 t ^{2} - 2 t} ⩽ 0.$

Разложим числитель: дискриминант уравнения $3 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ равен $D = 25 - 24 = 1$ , корни $t = \frac{5 \pm 1}{6}$ , то есть $t = 1$ и $t = \frac{2}{3}$ . Значит, $3 t^{2} - 5 t + 2 = (t - 1) (3 t - 2)$ . В знаменателе вынесем $t$ : $3 t^{2} - 2 t = t (3 t - 2)$ .

$\frac{( t - 1 ) ( 3 t - 2 )}{t ( 3 t - 2 )} ⩽ 0.$

Знаменатель не равен нулю: $t \neq = 0$ и $t \neq = \frac{2}{3}$ .

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t = 1$ закрашиваем. Точки $t = 0$ и $t = \frac{2}{3}$ — нули знаменателя, их выкалываем. Правее $1$ дробь положительна. Множитель $3 t - 2$ стоит и в числителе, и в знаменателе, то есть в сумме в чётной степени, поэтому при переходе через $\frac{2}{3}$ знак не меняется. Через $1$ и $0$ знак меняется.

Метод интервалов

Получаем $0 < t < \frac{2}{3}$ или $\frac{2}{3} < t ⩽ 1$ . Условие $t > 0$ уже выполнено.

Сделаем обратную замену. Запишем $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{- 1}$ и $1 = (\frac{3}{2})^{0}$ . Функция $y = (\frac{3}{2})^{x}$ возрастает, так как $\frac{3}{2} > 1$ , поэтому знаки неравенств сохраняются:

$(\frac{3}{2})^{x} < (\frac{3}{2})^{- 1}, (\frac{3}{2})^{- 1} < (\frac{3}{2})^{x} ⩽ (\frac{3}{2})^{0} \Leftrightarrow [x < - 1, - 1 < x ⩽ 0.$

Решение на числовой прямой

Ответ: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 0]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16