ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Упростим степени по свойствам $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и $(a^n{)}^m=a^{nm}$:

$$3^{x+1}=3\cdot 3^x,9^x=3^{2x}={\left(3^x\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$\frac{t^2-12t+18}{t-9}+\frac{6t-32}{t-7}⩾t+3.$$

Знаменатели не равны нулю: $t\ne 9$, $t\ne 7$.

Выделим целую часть первой дроби делением уголком:

Проверим: $(t-9)(t-3)=t^2-12t+27$, поэтому $t^2-12t+18=(t-9)(t-3)-9$ и

$$\frac{t^2-12t+18}{t-9}=t-3-\frac{9}{t-9}.$$

Выделим целую часть второй дроби:

Так как $6t-32=6(t-7)+10$, то

$$\frac{6t-32}{t-7}=6+\frac{10}{t-7}.$$

Подставим в неравенство и перенесём $t+3$ влево:

$$t-3-\frac{9}{t-9}+6+\frac{10}{t-7}-t-3⩾0.$$

Слагаемые без дробей взаимно уничтожаются: $t-3+6-t-3=0$. Остаётся

$$\frac{10}{t-7}-\frac{9}{t-9}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-7)(t-9)$:

$$\frac{10(t-9)-9(t-7)}{(t-7)(t-9)}⩾0\iff \frac{10t-90-9t+63}{(t-7)(t-9)}⩾0\iff \frac{t-27}{(t-7)(t-9)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=27$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=7$ и $t=9$ выкалываем. Правее $27$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $t\in (7;9)\cup [27;+\infty )$. Все эти значения положительны, условие $t>0$ выполнено.

Сделаем обратную замену. Запишем $9=3^2$, $27=3^3$ и по основному логарифмическому тождеству $7=3^{{\log }_{3}7}$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^{{\log }_{3}7}<3^x<3^2,\\ 3^x⩾3^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}{\log }_{3}7<x<2,\\ x⩾3.\end{array}$$

Так как $3<7<9$, то $1<{\log }_{3}7<2$, и первый промежуток не пустой.

Ответ: $({\log }_{3}7;2)\cup [3;+\infty )$.