ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Все выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}(2-x)(x^2+7)>0,\\ x^2-5x+6>0,\\ 5-x>0.\end{array}$$

В первом условии множитель $x^2+7$ положителен при любом $x$, поэтому оно равносильно $2-x>0$, то есть $x<2$.

Во втором условии разложим трёхчлен: корни уравнения $x^2-5x+6=0$ по теореме Виета — $2$ и $3$ (сумма $5$, произведение $6$), поэтому $(x-2)(x-3)>0$:

Получаем $x<2$ или $x>3$. Третье условие: $x<5$. Пересечём все три условия:

ОДЗ: $x<2$.

На ОДЗ оба аргумента в правой части положительны, поэтому сумму логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифмом произведения: ${\log }_{a}m+{\log }_{a}n={\log }_a(mn)$.

$${\log }_{\frac{1}{4}}(x^2-5x+6)+{\log }_{\frac{1}{4}}(5-x)={\log }_{\frac{1}{4}}((x-2)(x-3)(5-x)).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{\frac{1}{4}}((2-x)(x^2+7))⩽{\log }_{\frac{1}{4}}((x-2)(x-3)(5-x)).$$

Основание $\frac{1}{4}$ лежит между $0$ и $1$, поэтому логарифм — убывающая функция: большему значению логарифма соответствует меньший аргумент. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный (оба аргумента положительны на ОДЗ):

$$(2-x)(x^2+7)⩾(x-2)(x-3)(5-x).$$

Запишем $x-2=-(2-x)$ и перенесём правую часть влево:

$$(2-x)(x^2+7)+(2-x)(x-3)(5-x)⩾0.$$

Вынесем общий множитель $2-x$:

$$(2-x)(x^2+7+(x-3)(5-x))⩾0.$$

Раскроем скобки: $(x-3)(5-x)=5x-x^2-15+3x=-x^2+8x-15$. Тогда выражение во второй скобке равно $x^2+7-x^2+8x-15=8x-8=8(x-1)$:

$$8(2-x)(x-1)⩾0.$$

Разделим на $-8<0$, знак неравенства поменяется:

$$(x-1)(x-2)⩽0.$$

Решим методом интервалов, точки закрашенные:

Получаем $1⩽x⩽2$. Пересечём с ОДЗ $x<2$: точку $2$ выкалываем.

Ответ: $[1;2)$.