ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен, основание положительно и не равно единице:

$$\{\begin{array}{l}3x-5>0,\\ x^2-4x+5>0,\\ x^2-4x+5\ne 1.\end{array}$$

Выделим полный квадрат: $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$. Это выражение не меньше $1$ при любом $x$, поэтому второе условие выполнено всегда. Третье условие означает $(x-2{)}^2\ne 0$, то есть $x\ne 2$. Из первого условия $x>\frac{5}{3}$. Так как $\frac{5}{3}<2$, ОДЗ:

$$x\in \left(\frac{5}{3};2\right)\cup (2;+\infty ).$$

Применим метод рационализации. На ОДЗ знак выражения ${\log }_{a}b$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(b-1)$. Убедимся в этом для нашего основания. На ОДЗ $a=(x-2{)}^2+1>1$, поэтому логарифм по такому основанию — возрастающая функция и ${\log }_{a}1=0$. Значит, ${\log }_{a}b>0$ при $b>1$, ${\log }_{a}b=0$ при $b=1$ и ${\log }_{a}b<0$ при $0<b<1$: знак логарифма такой же, как у $b-1$, а множитель $a-1>0$ знак не меняет.

Поэтому на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

$$(4x-7)(x^2-4x+5-1)(3x-5-1)⩾0.$$

Упростим скобки: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ и $3x-6=3(x-2)$:

$$3(4x-7)(x-2{)}^3⩾0.$$

На ОДЗ $x\ne 2$, поэтому $3(x-2{)}^2>0$. Разделим на это положительное выражение, знак неравенства сохранится:

$$(4x-7)(x-2)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули $x=\frac{7}{4}$ и $x=2$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое:

Получаем $x⩽\frac{7}{4}$ или $x⩾2$. Пересечём с ОДЗ. Сравним $\frac{5}{3}=\frac{20}{12}$ и $\frac{7}{4}=\frac{21}{12}$: значит, $\frac{5}{3}<\frac{7}{4}$. Точку $2$ выкалываем.

Ответ: $\left(\frac{5}{3};\frac{7}{4}\right]\cup (2;+\infty )$.