Решите неравенство (8^(x + 2/3) -9·4^(x + 1/2) +13·2^x -13)/(4^(x +… — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Показательные неравенства сложная развёрнутое

Решите неравенство $\frac{8 ^{x + \frac{2}{3}} - 9 \cdot 4 ^{x + \frac{1}{2}} + 13 \cdot 2 ^{x} - 13}{4 ^{x + \frac{1}{2}} - 9 \cdot 2 ^{x} + 4} \leq 2^{x + 1} - \frac{1}{2 ^{x} - 2} + \frac{3}{2 ^{x + 1} - 1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Приведём все степени к основанию $2$ по свойствам $(a^{n})^{m} = a^{nm}$ и $a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}$ :

$8^{x + \frac{2}{3}} = 2^{3 x + 2} = 4 \cdot (2^{x})^{3}, 4^{x + \frac{1}{2}} = 2^{2 x + 1} = 2 \cdot (2^{x})^{2}, 2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} .$

Сделаем замену $t = 2^{x}$ , где $t > 0$ . Тогда $9 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} = 18 t^{2}$ , и неравенство принимает вид

$\frac{4 t ^{3} - 18 t ^{2} + 13 t - 13}{2 t ^{2} - 9 t + 4} ⩽ 2 t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2 t - 1} .$

Разложим знаменатель левой дроби на множители. Дискриминант уравнения $2 t^{2} - 9 t + 4 = 0$ равен $D = 81 - 32 = 49 = 7^{2}$ , корни $t = \frac{9 \pm 7}{4}$ , то есть $t = \frac{1}{2}$ и $t = 4$ . Значит,

$2 t^{2} - 9 t + 4 = 2 (t - \frac{1}{2}) (t - 4) = (2 t - 1) (t - 4) .$

Ограничения на $t$ : знаменатели не равны нулю, поэтому $t \neq = \frac{1}{2}$ , $t \neq = 4$ , $t \neq = 2$ ; кроме того, $t > 0$ .

Выделим целую часть левой дроби: разделим числитель на знаменатель уголком.

Рисунок к решению

Проверим: $2 t \cdot (2 t^{2} - 9 t + 4) = 4 t^{3} - 18 t^{2} + 8 t$ , и после вычитания из числителя остаётся $13 t - 8 t - 13 = 5 t - 13$ . Значит, частное равно $2 t$ , остаток — $5 t - 13$ :

$\frac{4 t ^{3} - 18 t ^{2} + 13 t - 13}{2 t ^{2} - 9 t + 4} = 2 t + \frac{5 t - 13}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 )} .$

Подставим в неравенство. Слагаемое $2 t$ есть в обеих частях, оно сокращается. Перенесём оставшиеся дроби влево:

$\frac{5 t - 13}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 )} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2 t - 1} ⩽ 0.$

Приведём к общему знаменателю $(2 t - 1) (t - 4) (t - 2)$ :

$\frac{( 5 t - 13 ) ( t - 2 ) + ( 2 t - 1 ) ( t - 4 ) - 3 ( t - 4 ) ( t - 2 )}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} ⩽ 0.$

Раскроем скобки в числителе:

$(5 t - 13) (t - 2) = 5 t^{2} - 23 t + 26, (2 t - 1) (t - 4) = 2 t^{2} - 9 t + 4, 3 (t - 4) (t - 2) = 3 t^{2} - 18 t + 24.$

Числитель равен $5 t^{2} - 23 t + 26 + 2 t^{2} - 9 t + 4 - 3 t^{2} + 18 t - 24 = 4 t^{2} - 14 t + 6 = 2 (2 t^{2} - 7 t + 3)$ .

Разложим $2 t^{2} - 7 t + 3$ : дискриминант $D = 49 - 24 = 25 = 5^{2}$ , корни $t = \frac{7 \pm 5}{4}$ , то есть $t = \frac{1}{2}$ и $t = 3$ . Значит, $2 t^{2} - 7 t + 3 = (2 t - 1) (t - 3)$ , и неравенство принимает вид

$\frac{2 ( 2 t - 1 ) ( t - 3 )}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} ⩽ 0.$

При $t \neq = \frac{1}{2}$ сократим дробь на $2 t - 1$ и разделим неравенство на $2 > 0$ . Условие $t \neq = \frac{1}{2}$ сохраняем:

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{t - 3}{( t - 4 ) ( t - 2 )} ⩽ 0, t \neq = \frac{1}{2} .$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t = 3$ закрашиваем, нули знаменателя $t = 2$ и $t = 4$ и точку $t = \frac{1}{2}$ выкалываем. Правее $4$ дробь положительна; при переходе через $4$ , $3$ и $2$ знак меняется, а через $\frac{1}{2}$ — нет (в этой точке ни один множитель не обращается в ноль).

Метод интервалов

Учтём условие $t > 0$ :

Решение на числовой прямой

$t \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 2) \cup [3; 4) .$

Сделаем обратную замену. Запишем $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ , $2 = 2^{1}$ , $4 = 2^{2}$ и по основному логарифмическому тождеству $3 = 2^{l o g_{2} 3}$ . Функция $y = 2^{x}$ возрастает, так как $2 > 1$ , поэтому знаки неравенств сохраняются:

$2^{x} < 2^{- 1}, 2^{- 1} < 2^{x} < 2^{1}, 2^{l o g_{2} 3} ⩽ 2^{x} < 2^{2} \Leftrightarrow x < - 1, - 1 < x < 1, lo g_{2} 3 ⩽ x < 2.$

Так как $2 < 3 < 4$ , то $1 < lo g_{2} 3 < 2$ , и промежутки не пересекаются.

Ответ на числовой прямой

Ответ: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup [lo g_{2} 3; 2)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16