ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Неравенство принимает вид

$$\frac{1}{t+112}+\frac{1}{t-128}⩾0.$$

Знаменатели не должны обращаться в ноль: $t\ne -112$ и $t\ne 128$. Приведём дроби к общему знаменателю $(t+112)(t-128)$:

$$\frac{t-128+t+112}{(t+112)(t-128)}⩾0\iff \frac{2t-16}{(t+112)(t-128)}⩾0.$$

Вынесем в числителе $2$ и разделим неравенство на это положительное число — знак сохранится:

$$\frac{t-8}{(t+112)(t-128)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=8$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $t=-112$ и $t=128$ выкалываем. Правее $128$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $t\in (-112;8]\cup (128;+\infty )$. С учётом условия $t>0$:

$$0<t⩽8\text{или}t>128.$$

Сделаем обратную замену. Условие $2^x>0$ выполнено при всех $x$. Запишем $8=2^3$ и $128=2^7$. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому знаки неравенств для показателей сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{2}^x⩽2^3,\\ 2^x>2^7\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽3,\\ x>7.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;3]\cup (7;+\infty )$.