ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Разберёмся со знаменателем. Так как $16^{x^2}={\left(4^{x^2}\right)}^2$, знаменатель — полный квадрат по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$16^{x^2}-4\cdot 4^{x^2}+4={\left(4^{x^2}\right)}^2-2\cdot 2\cdot 4^{x^2}+2^2={\left(4^{x^2}-2\right)}^2.$$

Квадрат неотрицателен и обращается в ноль только тогда, когда

$$4^{x^2}=2\iff 2^{2x^2}=2^1\iff 2x^2=1\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Значит, ОДЗ: $x\ne \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, и при всех таких $x$ знаменатель строго положителен.

Разложим числитель группировкой: вынесем $4x^2$ из первых двух слагаемых и $-1$ из последних двух.

$$8x^3-4x^2-2x+1=4x^2(2x-1)-(2x-1)=(2x-1)(4x^2-1).$$

По формуле разности квадратов $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$, поэтому числитель равен $(2x-1{)}^2(2x+1)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{(2x-1{)}^2(2x+1)}{{\left(4^{x^2}-2\right)}^2}⩽0.$$

Дробь с положительным знаменателем неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель. Поэтому неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}(2x-1{)}^2(2x+1)⩽0,\\ x\ne \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.\end{array}$$

Решим её методом интервалов. Нули числителя: $x=-\frac{1}{2}$ и $x=\frac{1}{2}$, их закрашиваем. Точки $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ выкалываем. Сравним их с $\pm \frac{1}{2}$: так как ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}>\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, то $\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{2}$, и точки идут в порядке $-\frac{1}{\sqrt{2}}<-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Знак левой части определяется числителем. Правее $\frac{1}{2}$ он положителен. Множитель $(2x-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $\frac{1}{2}$ знак не меняется. При переходе через $-\frac{1}{2}$ знак меняется. В выколотых точках $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ числитель не обращается в ноль, и знак через них не меняется.

Решения: все $x⩽-\frac{1}{2}$, кроме $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, и отдельная точка $x=\frac{1}{2}$, в которой числитель равен нулю.

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{2}\right]\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}$.