ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — неравенства с модулем

Разбор — 2 балла

Знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $x\ne 2$ и $x\ne -6$. При таких $x$ оба модуля строго положительны, а значит, положительно и их произведение $|x-2|\cdot |x+6|$. Умножим на него обе части неравенства — знак неравенства не изменится:

$$6|x+6|-2|x-2|⩾|x-2|\cdot |x+6|.$$

Подмодульные выражения обращаются в ноль в точках $-6$ и $2$. Эти точки (сами они исключены) делят прямую на три промежутка, на каждом из которых модули раскрываются определённым образом.

Случай 1: $x>2$. Здесь $x-2>0$ и $x+6>0$, поэтому $|x-2|=x-2$, $|x+6|=x+6$:

$$6(x+6)-2(x-2)⩾(x-2)(x+6).$$

Раскроем скобки: слева $6x+36-2x+4=4x+40$, справа $x^2+4x-12$. Получаем

$$4x+40⩾x^2+4x-12\iff x^2⩽52.$$

Так как $52=4\cdot 13={\left(2\sqrt{13}\right)}^2$, по формуле разности квадратов

$$\left(x-2\sqrt{13}\right)\left(x+2\sqrt{13}\right)⩽0.$$

Получаем $-2\sqrt{13}⩽x⩽2\sqrt{13}$. Учтём условие случая $x>2$. Так как $\sqrt{13}>1$, то $2\sqrt{13}>2$:

В этом случае $2<x⩽2\sqrt{13}$.

Случай 2: $-6<x<2$. Здесь $x-2<0$ и $x+6>0$, поэтому $|x-2|=2-x$, $|x+6|=x+6$:

$$6(x+6)-2(2-x)⩾(2-x)(x+6).$$

Слева $6x+36-4+2x=8x+32$, справа $2x+12-x^2-6x=-x^2-4x+12$. Получаем

$$8x+32⩾-x^2-4x+12\iff x^2+12x+20⩾0.$$

Корни уравнения $x^2+12x+20=0$ по теореме Виета — $x=-10$ и $x=-2$ (сумма $-12$, произведение $20$). Значит, $(x+10)(x+2)⩾0$:

Получаем $x⩽-10$ или $x⩾-2$. Учтём условие случая $-6<x<2$: промежуток $x⩽-10$ лежит левее $-6$ и не подходит, остаётся $-2⩽x<2$.

Случай 3: $x<-6$. Здесь оба подмодульных выражения отрицательны: $|x-2|=2-x$, $|x+6|=-x-6$:

$$6(-x-6)-2(2-x)⩾(2-x)(-x-6).$$

Слева $-6x-36-4+2x=-4x-40$. Справа $(2-x)(-x-6)=(x-2)(x+6)=x^2+4x-12$. Получаем

$$-4x-40⩾x^2+4x-12\iff x^2+8x+28⩽0.$$

Дискриминант трёхчлена $D=8^2-4\cdot 28=64-112=-48<0$, а старший коэффициент положителен. Значит, $x^2+8x+28>0$ при всех $x$, и в этом случае решений нет.

Объединим решения первых двух случаев.

Ответ: $[-2;2)\cup (2;2\sqrt{13}]$.