ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$$25-x^2>0\iff (x-5)(x+5)<0.$$

Решим методом интервалов, точки выколотые, так как неравенство строгое:

ОДЗ: $-5<x<5$.

Сделаем замену $t={\log }_3(25-x^2)$:

$$t^2-3t+2⩾0.$$

Корни уравнения $t^2-3t+2=0$ по теореме Виета — $t=1$ и $t=2$ (сумма $3$, произведение $2$). Значит, $(t-1)(t-2)⩾0$:

Получаем $t⩽1$ или $t⩾2$.

Сделаем обратную замену. Запишем $1={\log }_{3}3$ и $2={\log }_{3}9$. Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенств сохраняются. Положительность аргумента сохраняем из ОДЗ:

$$[\begin{array}{l}{\log }_3(25-x^2)⩽{\log }_{3}3,\\ {\log }_3(25-x^2)⩾{\log }_{3}9\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<25-x^2⩽3,\\ 25-x^2⩾9.\end{array}$$

Решим первое неравенство совокупности. Из $25-x^2⩽3$ получаем $x^2⩾22$. Так как $22={\left(\sqrt{22}\right)}^2$, по формуле разности квадратов

$$\left(x-\sqrt{22}\right)\left(x+\sqrt{22}\right)⩾0.$$

Теперь учтём условие $25-x^2>0$, то есть $-5<x<5$. Так как $22<25$, то $\sqrt{22}<5$, и точки $\pm \sqrt{22}$ лежат внутри интервала $(-5;5)$:

Получаем $-5<x⩽-\sqrt{22}$ или $\sqrt{22}⩽x<5$.

Решим второе неравенство. Из $25-x^2⩾9$ получаем $x^2⩽16$, то есть $(x-4)(x+4)⩽0$:

Получаем $-4⩽x⩽4$. Этот отрезок целиком лежит в ОДЗ.

Объединим решения. Так как $16<22<25$, то $4<\sqrt{22}<5$, и точки расположены так: $-5<-\sqrt{22}<-4<4<\sqrt{22}<5$.

Ответ: $(-5;-\sqrt{22}]\cup [-4;4]\cup [\sqrt{22};5)$.