ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифмы ${\log }_{3}x$ и ${\log }_{9}x$ определены при $x>0$. Внешний логарифм ${\log }_3({\log }_{3}x)$ определён, когда его аргумент положителен:

$${\log }_{3}x>0\iff {\log }_{3}x>{\log }_{3}1\iff x>1.$$

Здесь мы воспользовались тем, что основание $3>1$, поэтому логарифм — возрастающая функция и знак неравенства сохраняется. Итак, ОДЗ: $x>1$.

Упростим первое слагаемое. По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ при $b>0$. На ОДЗ число ${\log }_{3}x$ положительно, поэтому

$$3^{{\log }_3({\log }_{3}x)}={\log }_{3}x.$$

Второе слагаемое — это квадрат логарифма: ${\log }_9^{2}x=({\log }_{9}x{)}^2$. Перейдём к основанию $3$ по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{9}x={\log }_{3^2}x=\frac{1}{2}{\log }_{3}x,{\log }_9^{2}x=\frac{1}{4}{\log }_3^{2}x.$$

На ОДЗ неравенство принимает вид

$${\log }_{3}x+\frac{1}{4}{\log }_3^{2}x-8⩽0.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. На ОДЗ $x>1$, поэтому $t>0$. Умножим неравенство на $4>0$:

$$t^2+4t-32⩽0.$$

Корни уравнения $t^2+4t-32=0$ по теореме Виета — $t=-8$ и $t=4$ (сумма $-4$, произведение $-32$). Значит, $(t+8)(t-4)⩽0$. Решим методом интервалов, точки закрашенные, так как неравенство нестрогое:

Получаем $-8⩽t⩽4$. С учётом условия $t>0$ остаётся $0<t⩽4$.

Сделаем обратную замену. Запишем $0={\log }_{3}1$ и $4={\log }_{3}81$. Основание $3>1$, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенств сохраняются:

$$0<{\log }_{3}x⩽4\iff {\log }_{3}1<{\log }_{3}x⩽{\log }_{3}81\iff 1<x⩽81.$$

Условие ОДЗ $x>1$ здесь уже учтено.

Ответ: $(1;81]$.