ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатели не должны обращаться в ноль. Вынесем в первом знаменателе общий множитель: $x^2-4x=x(x-4)$. Получаем

$$x\ne 0,x\ne 4,x\ne -3.$$

Разложим на множители числитель левой дроби. Вынесем минус за скобку: $5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)$. Корни уравнения $x^2-5x+4=0$ по теореме Виета — $x=1$ и $x=4$ (их сумма $5$, произведение $4$). Значит,

$$5x-x^2-4=-(x-1)(x-4).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{-(x-1)(x-4)}{x(x-4)}⩽2-\frac{8}{x+3}.$$

При $x\ne 4$ дробь можно сократить на $x-4$: её значение от этого не меняется. Условие $x\ne 4$ запомним и учтём в конце.

$$-\frac{x-1}{x}⩽2-\frac{8}{x+3}.$$

Перенесём левую часть вправо, чтобы сравнивать выражение с нулём:

$$\frac{x-1}{x}+2-\frac{8}{x+3}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $x(x+3)$:

$$\frac{(x-1)(x+3)+2x(x+3)-8x}{x(x+3)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$, $2x(x+3)=2x^2+6x$. Тогда числитель равен

$$x^2+2x-3+2x^2+6x-8x=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

(в конце применили формулу разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$). Разделим неравенство на положительное число $3$ — знак неравенства сохранится:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+3)}⩾0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя $x=-1$ и $x=1$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $x=-3$ и $x=0$ выкалываем — на ноль делить нельзя. Правее точки $1$ все четыре множителя положительны, поэтому там дробь положительна. Все множители входят в первой степени, значит, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x<-3$, или $-1⩽x<0$, или $x⩾1$. Осталось учесть условие $x\ne 4$: точка $4$ попадает в промежуток $[1;+\infty )$, поэтому выкалываем её оттуда.

Ответ: $(-\infty ;-3)\cup [-1;0)\cup [1;4)\cup (4;+\infty )$.