ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Внутренний логарифм определён при $x>0$, а внешний требует, чтобы его аргумент был положителен: ${\log }_{2}x>0={\log }_{2}1$. Основание $2>1$, поэтому $x>1$. ОДЗ: $x>1$.

На ОДЗ число ${\log }_{2}x$ положительно, и по основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $b>0$):

$$2^{{\log }_2({\log }_{2}x)}={\log }_{2}x.$$

Приведём ${\log }_{4}x$ к основанию $2$ по формуле ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$: так как $4=2^2$, то ${\log }_{4}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$, и

$${\log }_4^{2}x={\left(\frac{1}{2}{\log }_{2}x\right)}^2=\frac{1}{4}{\log }_2^{2}x.$$

Исходное неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+\frac{1}{4}{\log }_2^{2}x-3⩽0,\\ {\log }_{2}x>0.\end{array}$$

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$ и умножим первое неравенство на $4>0$:

$$\{\begin{array}{l}{t}^2+4t-12⩽0,\\ t>0.\end{array}$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+4t-12$ имеют сумму $-4$ и произведение $-12$ — это $t=-6$ и $t=2$. Значит, $(t+6)(t-2)⩽0$. Точки закрашиваем, между корнями произведение отрицательно:

Получаем $-6⩽t⩽2$. Вместе с условием $t>0$:

$$0<t⩽2.$$

Сделаем обратную замену. Основание $2>1$, функция ${\log }_{2}x$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$${\log }_{2}1<{\log }_{2}x⩽{\log }_{2}4\iff 1<x⩽4.$$

Ответ: $(1;4]$.