ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим квадратный трёхчлен на множители. По теореме Виета корни уравнения $x^2-7x+12=0$ имеют сумму $7$ и произведение $12$ — это $3$ и $4$:

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}(x-3)(x-4)>0,\\ \frac{(x-3{)}^7}{x-4}>0.\end{array}$$

Нечётная степень $(x-3{)}^7$ имеет тот же знак, что и $x-3$, а знак частного совпадает со знаком произведения. Поэтому второе условие равносильно $(x-3)(x-4)>0$, как и первое. Точки $3$ и $4$ выкалываем:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;3)\cup (4;+\infty )$.

Преобразуем обе части. На ОДЗ аргумент $(x-3)(x-4)$ положителен, поэтому по свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$:

$$7{\log }_3((x-3)(x-4))={\log }_3((x-3{)}^7(x-4{)}^7).$$

В правой части запишем $8={\log }_3{3}^8$ и заменим сумму логарифмов положительных чисел логарифмом произведения:

$$8+{\log }_3\frac{(x-3{)}^7}{x-4}={\log }_3\left(3^8\cdot \frac{(x-3{)}^7}{x-4}\right).$$

Получаем

$${\log }_3((x-3{)}^7(x-4{)}^7)⩽{\log }_3\left(3^8\cdot \frac{(x-3{)}^7}{x-4}\right).$$

Основание $3>1$, функция ${\log }_{3}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$(x-3{)}^7(x-4{)}^7⩽3^8\cdot \frac{(x-3{)}^7}{x-4}.$$

Перенесём всё влево, вынесем общий множитель $(x-3{)}^7$ и приведём к общему знаменателю $x-4$:

$$(x-3{)}^7\left((x-4{)}^7-\frac{3^8}{x-4}\right)⩽0\iff \frac{(x-3{)}^7\left((x-4{)}^8-3^8\right)}{x-4}⩽0.$$

Разложим $(x-4{)}^8-3^8$, дважды применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(x-4{)}^8-3^8=\left((x-4{)}^2-3^2\right)\left((x-4{)}^2+3^2\right)\left((x-4{)}^4+3^4\right).$$

Множители $(x-4{)}^2+3^2⩾9$ и $(x-4{)}^4+3^4⩾81$ положительны при любом $x$, на них можно разделить обе части, не меняя знака. Оставшуюся разность квадратов разложим ещё раз:

$$(x-4{)}^2-3^2=(x-4-3)(x-4+3)=(x-7)(x-1).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x-3{)}^7(x-1)(x-7)}{x-4}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $1$, $3$, $7$ закрашиваем, нуль знаменателя $4$ выкалываем. Все множители в нечётных степенях, поэтому при переходе через каждую точку знак меняется; при больших $x$ дробь положительна.

Получаем $x\in [1;3]\cup (4;7]$. Пересечём с ОДЗ: точка $x=3$ в ОДЗ не входит (там аргумент логарифма равен нулю), её исключаем; остальные точки лежат в ОДЗ.

Ответ: $[1;3)\cup (4;7]$.