ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма положителен: $x+1,5>0$, то есть $x>-1,5$. Знаменатель не равен нулю: ${\log }_2^2(x+1,5)\ne 4$, то есть ${\log }_2(x+1,5)\ne \pm 2$:

$$x+1,5\ne 4,x+1,5\ne \frac{1}{4}\iff x\ne 2,5,x\ne -1,25.$$

Умножим обе части на $-1$, поменяв знак неравенства, и разложим знаменатель по формуле разности квадратов:

$$\frac{3^x-16}{({\log }_2(x+1,5)-2)({\log }_2(x+1,5)+2)}⩽0.$$

Запишем каждый множитель как разность степеней или логарифмов с одинаковым основанием: $16=3^{{\log }_{3}16}$, $2={\log }_{2}4$, $-2={\log }_2\frac{1}{4}$:

$$\frac{3^x-3^{{\log }_{3}16}}{\left({\log }_2(x+1,5)-{\log }_{2}4\right)\left({\log }_2(x+1,5)-{\log }_2\frac{1}{4}\right)}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Основания $3>1$ и $2>1$, поэтому функции $3^x$ и ${\log }_{2}t$ возрастают: на ОДЗ разность $3^x-3^c$ имеет тот же знак, что $x-c$, а разность ${\log }_{2}u-{\log }_{2}v$ — тот же знак, что $u-v$. Заменим:

$$3^x-3^{{\log }_{3}16}\to x-{\log }_{3}16;{\log }_2(x+1,5)-{\log }_{2}4\to x+1,5-4=x-2,5;$$

$${\log }_2(x+1,5)-{\log }_2\frac{1}{4}\to x+1,5-\frac{1}{4}=x+1,25.$$

Получаем равносильное на ОДЗ неравенство

$$\frac{x-{\log }_{3}16}{(x-2,5)(x+1,25)}⩽0.$$

Сравним ${\log }_{3}16$ с $2,5$. Так как $3^{2,5}=\sqrt{3^5}=\sqrt{243}<\sqrt{256}=16$, а функция ${\log }_{3}t$ возрастает, то ${\log }_{3}16>2,5$. Порядок точек: $-1,25<2,5<{\log }_{3}16$.

Решим методом интервалов. Нуль числителя ${\log }_{3}16$ закрашиваем, нули знаменателя $-1,25$ и $2,5$ выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x<-1,25$ или $2,5<x⩽{\log }_{3}16$. Учтём условие $x>-1,5$:

Ответ: $\left(-\frac{3}{2};-\frac{5}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{2};{\log }_{3}16\right]$.