ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Знаменатель не равен нулю: $5x-x^2-4=-\left(x^2-5x+4\right)$. Корни трёхчлена $x^2-5x+4$ по теореме Виета — $1$ и $4$, поэтому

$$5x-x^2-4=-(x-1)(x-4).$$

ОДЗ: $x\ne 1$, $x\ne 4$.

Разложим числитель на множители. Так как $10^x=(2\cdot 5{)}^x=2^x\cdot 5^x$, сгруппируем слагаемые попарно:

$$2^x\cdot 5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50=2^x\left(5^x-25\right)-2\left(5^x-25\right)=\left(2^x-2\right)\left(5^x-25\right).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{\left(2^x-2\right)\left(5^x-25\right)}{-(x-1)(x-4)}⩾0\iff \frac{\left(2^x-2^1\right)\left(5^x-5^2\right)}{(x-1)(x-4)}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Основания $2>1$ и $5>1$, поэтому функции $2^x$ и $5^x$ возрастают: разность $a^x-a^c$ при $a>1$ имеет тот же знак, что и $x-c$, и обращается в ноль в той же точке. Заменим $2^x-2^1$ на $x-1$, а $5^x-5^2$ на $x-2$:

$$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-4)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Точку $x=1$ выкалываем (нуль знаменателя), точку $x=4$ тоже выкалываем, нуль числителя $x=2$ закрашиваем. Множитель $x-1$ входит в числитель и знаменатель, то есть всего во второй степени, поэтому через $1$ знак не меняется; через $2$ и $4$ — меняется.

Получаем $2⩽x<4$.

Ответ: $[2;4)$.