ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}6x^2+5>0,\\ x^2+x+1>0,\\ \frac{x}{x+3}+5>0.\end{array}$$

Первое условие выполняется при всех $x$, так как $6x^2+5⩾5$. Второе — тоже при всех $x$: дискриминант $1-4=-3<0$, а старший коэффициент положителен. В третьем приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x+3}+5=\frac{x+5x+15}{x+3}=\frac{6x+15}{x+3}=\frac{3(2x+5)}{x+3}>0.$$

Нуль числителя $-\frac{5}{2}$ и нуль знаменателя $-3$ выкалываем:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-3)\cup \left(-\frac{5}{2};+\infty \right)$.

На ОДЗ разность логарифмов положительных чисел равна логарифму частного, а правую часть запишем в найденном виде:

$${\log }_{13}\frac{6x^2+5}{x^2+x+1}⩾{\log }_{13}\frac{6x+15}{x+3}.$$

Основание $13>1$, функция ${\log }_{13}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$\frac{6x^2+5}{x^2+x+1}⩾\frac{6x+15}{x+3}.$$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\left(6x^2+5\right)(x+3)-(6x+15)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)(x+3)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\left(6x^3+18x^2+5x+15\right)-\left(6x^3+21x^2+21x+15\right)=-3x^2-16x=-x(3x+16).$$

Множитель $x^2+x+1$ положителен при всех $x$, на него можно разделить обе части, не меняя знака. Умножим ещё на $-1$, поменяв знак неравенства:

$$\frac{x(3x+16)}{x+3}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $0$ и $-\frac{16}{3}$ закрашиваем, нуль знаменателя $-3$ выкалываем. Все множители первой степени, при больших $x$ дробь положительна.

Получаем $x⩽-\frac{16}{3}$ или $-3<x⩽0$.

Пересечём с ОДЗ. Так как $-\frac{16}{3}<-3$, луч $\left(-\infty ;-\frac{16}{3}\right]$ целиком лежит в ОДЗ. Из промежутка $(-3;0]$ в ОДЗ попадает только часть правее $-\frac{5}{2}$:

Ответ: $\left(-\infty ;-\frac{16}{3}\right]\cup \left(-\frac{5}{2};0\right]$.