ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $4-x>0$ и $x^2-8x+16=(x-4{)}^2>0$. Первое условие даёт $x<4$, второе ($x\ne 4$) при этом выполнено автоматически. ОДЗ: $x<4$.

Приведём оба логарифма к основанию $2$. Так как $512=2^9$, по формуле ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{512}(4-x)=\frac{1}{9}{\log }_2(4-x).$$

В правой части $x^2-8x+16=(x-4{)}^2=(4-x{)}^2$. На ОДЗ $4-x>0$, поэтому по свойству ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_2\left(x^2-8x+16\right)={\log }_2(4-x{)}^2=2{\log }_2(4-x).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{9}{\log }_2(4-x)⩾2{\log }_2(4-x).$$

Перенесём всё влево, вынесем ${\log }_2(4-x)$ за скобку и умножим обе части на $9>0$:

$$\left(x^2-18\right){\log }_2(4-x)⩾0.$$

Применим метод рационализации. Запишем ${\log }_2(4-x)={\log }_2(4-x)-{\log }_{2}1$. Основание $2>1$, функция ${\log }_{2}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ знак разности ${\log }_2(4-x)-{\log }_{2}1$ совпадает со знаком разности аргументов $(4-x)-1=3-x$. Заменим логарифм на $3-x$:

$$\left(x^2-18\right)(3-x)⩾0.$$

Умножим обе части на $-1$, поменяв знак неравенства, и разложим $x^2-18$ по формуле разности квадратов ($18={\left(3\sqrt{2}\right)}^2$):

$$\left(x+3\sqrt{2}\right)(x-3)\left(x-3\sqrt{2}\right)⩽0.$$

Сравним точки: $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, и $\sqrt{9}<\sqrt{18}$, то есть $3<3\sqrt{2}$. Порядок точек: $-3\sqrt{2}<3<3\sqrt{2}$.

Решим методом интервалов: точки закрашиваем, при больших $x$ произведение положительно, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x⩽-3\sqrt{2}$ или $3⩽x⩽3\sqrt{2}$.

Учтём ОДЗ $x<4$. Так как $3\sqrt{2}=\sqrt{18}>\sqrt{16}=4$, от отрезка $\left[3;3\sqrt{2}\right]$ остаётся $[3;4)$, а луч $\left(-\infty ;-3\sqrt{2}\right]$ целиком лежит в ОДЗ.

Ответ: $\left(-\infty ;-3\sqrt{2}\right]\cup [3;4)$.