ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}>0,\\ \frac{x}{1-x}>0,\\ 8x^2+\frac{1}{x}-5>0.\end{array}$$

Первое условие даёт $x>0$. Второе решим методом интервалов: нуль числителя $0$ и нуль знаменателя $1$ выкалываем; при $x$ между ними числитель и знаменатель положительны.

Первые два условия вместе дают $0<x<1$. Третье условие решать отдельно не будем — ниже увидим, что оно выполнится автоматически.

Преобразуем левую часть. При $x>0$ по свойству $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$:

$$2{\log }_7\left(x\sqrt{2}\right)={\log }_7{\left(x\sqrt{2}\right)}^2={\log }_7\left(2x^2\right).$$

Разность логарифмов положительных чисел равна логарифму частного:

$${\log }_7\left(2x^2\right)-{\log }_7\frac{x}{1-x}={\log }_7\left(2x^2\cdot \frac{1-x}{x}\right)={\log }_7(2x(1-x)).$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_7(2x(1-x))⩽{\log }_7\left(8x^2+\frac{1}{x}-5\right).$$

Основание $7>1$, функция ${\log }_{7}t$ возрастает, поэтому неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком при условии, что оба аргумента положительны. При $0<x<1$ левый аргумент $2x(1-x)>0$. Если $8x^2+\frac{1}{x}-5⩾2x(1-x)$, то правый аргумент тоже положителен — именно поэтому третье условие ОДЗ выполняется само. Значит, при $0<x<1$ неравенство равносильно

$$2x(1-x)⩽8x^2+\frac{1}{x}-5.$$

Умножим обе части на $x>0$, знак неравенства сохраняется:

$$2x^2-2x^3⩽8x^3+1-5x\iff 10x^3-2x^2-5x+1⩾0.$$

Разложим многочлен группировкой: из первых двух слагаемых вынесем $2x^2$, из последних двух — $-1$:

$$2x^2(5x-1)-(5x-1)⩾0\iff (5x-1)\left(2x^2-1\right)⩾0.$$

Разложим $2x^2-1$ по формуле разности квадратов: $2x^2-1=\left(x\sqrt{2}-1\right)\left(x\sqrt{2}+1\right)$. Нули множителей: $x=\frac{1}{5}$ и $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71>\frac{1}{5}$, точки идут в порядке $-\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{1}{5}<\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$$(5x-1)\left(x\sqrt{2}-1\right)\left(x\sqrt{2}+1\right)⩾0.$$

Решим методом интервалов: точки закрашиваем (неравенство нестрогое), при больших $x$ произведение положительно, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $-\frac{\sqrt{2}}{2}⩽x⩽\frac{1}{5}$ или $x⩾\frac{\sqrt{2}}{2}$. Пересечём с условием $0<x<1$:

Ответ: $\left(0;\frac{1}{5}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2};1\right)$.