Решите неравенство 9log₈²(4-x)⁴+5log_0,5(4-x)⁸≤56 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифм с переменным основанием средняя 2026 развёрнутое

Решите неравенство

$9 lo g_{8}^{2} (4 - x)^{4} + 5 lo g_{0, 5} (4 - x)^{8} ⩽ 56.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $(4 - x)^{4} > 0$ и $(4 - x)^{8} > 0$ . Чётная степень положительна при любом $x$ , кроме того, при котором основание степени равно нулю. ОДЗ: $x \neq = 4$ .

Приведём оба логарифма к основанию $2$ по формуле $lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$ . Так как $8 = 2^{3}$ и $0, 5 = 2^{- 1}$ :

$lo g_{8} (4 - x)^{4} = \frac{1}{3} lo g_{2} (4 - x)^{4}, lo g_{0, 5} (4 - x)^{8} = - lo g_{2} (4 - x)^{8} .$

Во втором логарифме запишем $(4 - x)^{8} = ((4 - x)^{4})^{2}$ . На ОДЗ $(4 - x)^{4} > 0$ , поэтому по свойству $lo g_{a} b^{2} = 2 lo g_{a} b$ (при $b > 0$ ):

$lo g_{2} (4 - x)^{8} = 2 lo g_{2} (4 - x)^{4} .$

Подставим в неравенство. Квадрат $(\frac{1}{3} lo g_{2} (4 - x)^{4})^{2}$ равен $\frac{1}{9} lo g_{2}^{2} (4 - x)^{4}$ , и множитель $9$ его сокращает:

$9 \cdot \frac{1}{9} lo g_{2}^{2} (4 - x)^{4} - 5 \cdot 2 lo g_{2} (4 - x)^{4} ⩽ 56 \Leftrightarrow lo g_{2}^{2} (4 - x)^{4} - 10 lo g_{2} (4 - x)^{4} - 56 ⩽ 0.$

Сделаем замену $t = lo g_{2} (4 - x)^{4}$ :

$t^{2} - 10 t - 56 ⩽ 0.$

По теореме Виета корни трёхчлена имеют сумму $10$ и произведение $- 56$ — это $t = - 4$ и $t = 14$ . Значит,

$(t + 4) (t - 14) ⩽ 0.$

Точки закрашиваем (неравенство нестрогое), между корнями произведение отрицательно.

Метод интервалов

Получаем $- 4 ⩽ t ⩽ 14$ .

Сделаем обратную замену и запишем числа как логарифмы по основанию $2$ :

$lo g_{2} 2^{- 4} ⩽ lo g_{2} (4 - x)^{4} ⩽ lo g_{2} 2^{14} .$

Основание $2 > 1$ , функция $lo g_{2} t$ возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$2^{- 4} ⩽ (4 - x)^{4} ⩽ 2^{14} .$

Так как $(4 - x)^{4} = ∣ x - 4 ∣^{4}$ , а функция $s^{4}$ возрастает при $s ⩾ 0$ , можно извлечь корень четвёртой степени из всех частей:

$2^{- 1} ⩽ ∣ x - 4∣ ⩽ 2^{\frac{7}{2}} .$

Здесь $2^{\frac{7}{2}} = 2^{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 82$ . Получаем $\frac{1}{2} ⩽ ∣ x - 4∣ ⩽ 82$ : расстояние от $x$ до точки $4$ не меньше $\frac{1}{2}$ и не больше $82$ . Раскроем модуль:

$- 82 ⩽ x - 4 ⩽ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⩽ x - 4 ⩽ 82 \Leftrightarrow [4 - 82 ⩽ x ⩽ 3, 5, 4, 5 ⩽ x ⩽ 4 + 82 .$

Точка $x = 4$ в эти отрезки не входит, так что ОДЗ выполнена.

Решение на числовой прямой

Ответ: $[4 - 82; 3, 5] \cup [4, 5; 4 + 82]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16