ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: в показателях стоит деление на $x$, поэтому $x\ne 0$.

Выделим в показателях целую часть: $\frac{2x+2}{x}=2+\frac{2}{x}$ и $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$. По свойствам степеней $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ и $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$:

$$4^{\frac{2x+2}{x}}=4^2\cdot 4^{\frac{2}{x}}=16\cdot 4^{\frac{2}{x}};$$

$$12^{\frac{x+1}{x}}=12\cdot 12^{\frac{1}{x}}=12\cdot 4^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{x}}.$$

Так как $\frac{4}{3}\cdot 12=16$, неравенство принимает вид

$$16\cdot 4^{\frac{2}{x}}-16\cdot 4^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{x}}+3^{\frac{1}{x}}-4^{\frac{1}{x}}⩾0.$$

Обозначим для краткости $a=4^{\frac{1}{x}}>0$ и $b=3^{\frac{1}{x}}>0$; тогда $4^{\frac{2}{x}}=a^2$:

$$16a^2-16ab+b-a⩾0.$$

Сгруппируем слагаемые попарно: из первых двух вынесем $16a$, из последних двух вынесем $-1$:

$$16a(a-b)-(a-b)⩾0\iff (a-b)(16a-1)⩾0.$$

Вернёмся к степеням:

$$\left(4^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x}}\right)\left(16\cdot 4^{\frac{1}{x}}-1\right)⩾0.$$

Чтобы в каждой скобке получить разность степеней с одинаковым основанием, разделим обе части на положительное число $16\cdot 3^{\frac{1}{x}}$ (знак неравенства сохраняется). Первую скобку делим на $3^{\frac{1}{x}}$, вторую — на $16$:

$$\left({\left(\frac{4}{3}\right)}^{\frac{1}{x}}-1\right)\left(4^{\frac{1}{x}}-\frac{1}{16}\right)⩾0\iff \left({\left(\frac{4}{3}\right)}^{\frac{1}{x}}-{\left(\frac{4}{3}\right)}^0\right)\left(4^{\frac{1}{x}}-4^{-2}\right)⩾0.$$

Применим метод рационализации. Основания $\frac{4}{3}>1$ и $4>1$, поэтому функции ${\left(\frac{4}{3}\right)}^u$ и $4^u$ возрастают: разность $c^u-c^v$ при $c>1$ имеет тот же знак, что и $u-v$. Заменим каждую скобку на разность показателей:

$$\left(\frac{1}{x}-0\right)\left(\frac{1}{x}+2\right)⩾0.$$

Приведём вторую скобку к общему знаменателю: $\frac{1}{x}+2=\frac{1+2x}{x}$. Получаем

$$\frac{1+2x}{x^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=-\frac{1}{2}$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=0$ выкалываем. Знаменатель $x^2$ в чётной степени, поэтому через $0$ знак не меняется.

Получаем $x⩾-\frac{1}{2}$, $x\ne 0$.

Ответ: $\left[-\frac{1}{2};0\right)\cup (0;+\infty )$.