ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $x^2-3x-4=0$ по теореме Виета — $-1$ и $4$ (сумма $3$, произведение $-4$), поэтому

$$4+3x-x^2=-\left(x^2-3x-4\right)=-(x+1)(x-4)=(x+1)(4-x).$$

Найдём ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}(x-2)(x+1)(4-x)>0,\\ \frac{6-x}{(x+1)(4-x)}>0,\\ x+3>0.\end{array}$$

В первом неравенстве умножим обе части на $-1$, поменяв знак неравенства: $(x+1)(x-2)(x-4)<0$. Нули $-1$, $2$, $4$ выкалываем (неравенство строгое), при больших $x$ произведение положительно, при переходе через каждую точку знак меняется.

Первое условие: $x<-1$ или $2<x<4$.

Во втором неравенстве заменим $6-x=-(x-6)$ и $4-x=-(x-4)$: минусы в числителе и знаменателе сокращаются, и получается $\frac{x-6}{(x+1)(x-4)}>0$. Нули $-1$, $4$, $6$ выкалываем.

Второе условие: $-1<x<4$ или $x>6$.

Третье условие: $x>-3$.

Пересечём все три условия. Промежуток $x<-1$ из первого условия не пересекается со вторым, а промежуток $(2;4)$ целиком лежит и во втором, и в третьем.

ОДЗ: $x\in (2;4)$.

Преобразуем неравенство на ОДЗ. Оба аргумента в левой части положительны, поэтому сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения по свойству ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$:

$${\log }_2\left((x-2)(x+1)(4-x)\cdot \frac{6-x}{(x+1)(4-x)}\right)={\log }_2((x-2)(6-x)).$$

Сокращение на $(x+1)(4-x)$ законно, так как точки $-1$ и $4$ не входят в ОДЗ.

В правой части запишем $-1={\log }_2\frac{1}{2}$ и тоже сложим логарифмы:

$$-1+{\log }_2(x+3)={\log }_2\frac{1}{2}+{\log }_2(x+3)={\log }_2\frac{x+3}{2}.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_2((x-2)(6-x))⩽{\log }_2\frac{x+3}{2}.$$

Основание $2>1$, функция ${\log }_{2}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ (где оба аргумента положительны) неравенство равносильно неравенству аргументов с тем же знаком:

$$(x-2)(6-x)⩽\frac{x+3}{2}.$$

Умножим обе части на $2$ и раскроем скобки:

$$2\left(-x^2+8x-12\right)⩽x+3\iff -2x^2+15x-27⩽0\iff 2x^2-15x+27⩾0.$$

Найдём корни: $D=15^2-4\cdot 2\cdot 27=225-216=9$, $x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{4}$, то есть $x_1=3$, $x_2=\frac{9}{2}$. Значит,

$$(x-3)(2x-9)⩾0.$$

Точки закрашиваем (неравенство нестрогое), старший коэффициент положителен, поэтому вне отрезка между корнями выражение положительно.

Получаем $x⩽3$ или $x⩾\frac{9}{2}$. Пересечём с ОДЗ $(2;4)$: так как $\frac{9}{2}>4$, второй промежуток в ОДЗ не попадает, а от первого остаётся $2<x⩽3$.

Ответ: $(2;3]$.