ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x\ne 2$.

Преобразуем числитель, используя свойства степеней: $2^{3x}={\left(2^x\right)}^3$, $4^x={\left(2^x\right)}^2$, $3\cdot 2^{x+3}=3\cdot 8\cdot 2^x=24\cdot 2^x$. Сделаем замену $t=2^x$:

$$2^{3x}-9\cdot 4^x+3\cdot 2^{x+3}-16=t^3-9t^2+24t-16.$$

Подберём корень многочлена среди делителей свободного члена. При $t=1$:

$$1-9+24-16=0,$$

значит, многочлен делится на $t-1$. Выделим этот множитель, расписав слагаемые так, чтобы они группировались:

$$t^3-9t^2+24t-16=\left(t^3-t^2\right)-\left(8t^2-8t\right)+(16t-16)=t^2(t-1)-8t(t-1)+16(t-1).$$

Вынесем $t-1$ за скобку и свернём оставшийся трёхчлен по формуле квадрата разности:

$$(t-1)\left(t^2-8t+16\right)=(t-1)(t-4{)}^2.$$

Вернёмся к $x$. Неравенство принимает вид

$$\frac{\left(2^x-1\right){\left(2^x-4\right)}^2}{x-2}⩾0.$$

Применим метод рационализации. Запишем $1=2^0$ и $4=2^2$. Основание $2>1$, поэтому функция $2^x$ возрастает: разность $2^x-2^a$ имеет тот же знак, что и $x-a$, и обращается в ноль в той же точке. Заменим каждую разность степеней на разность показателей — знак каждого множителя, а значит, и всей дроби, не изменится:

$$2^x-2^0\to x-0,{\left(2^x-2^2\right)}^2\to (x-2{)}^2.$$

Получаем равносильное неравенство

$$\frac{x(x-2{)}^2}{x-2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=0$ закрашиваем; точку $x=2$ выкалываем, так как в ней знаменатель обращается в ноль. При $x\ne 2$ дробь равна $x(x-2)$, поэтому знак меняется и при переходе через $0$, и при переходе через $2$.

Ответ: $(-\infty ;0]\cup (2;+\infty )$.