ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Подкоренные выражения неотрицательны: $x+5⩾0$ и $x-5⩾0$, то есть $x⩾5$. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x-5}\ne 4$, то есть $x-5\ne 16$, $x\ne 21$.

ОДЗ: $x⩾5$, $x\ne 21$.

Правая часть $\sqrt{x-5}+4⩾4>0$. Разделим обе части неравенства на это положительное число, знак неравенства сохранится:

$$\frac{\sqrt{x+5}+4}{\left(\sqrt{x-5}-4\right)\left(\sqrt{x-5}+4\right)}⩽1.$$

По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и с учётом $x⩾5$ знаменатель равен

$${\left(\sqrt{x-5}\right)}^2-4^2=x-5-16=x-21.$$

Получаем

$$\frac{\sqrt{x+5}+4}{x-21}⩽1.$$

Числитель $\sqrt{x+5}+4$ положителен при всех $x$ из ОДЗ, поэтому всё зависит от знака знаменателя. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $5⩽x<21$. Тогда $x-21<0$, дробь с положительным числителем и отрицательным знаменателем отрицательна, а значит, меньше $1$. Неравенство выполняется при всех $x\in [5;21)$.

Случай 2: $x>21$. Тогда $x-21>0$, и умножение обеих частей на $x-21$ сохраняет знак неравенства:

$$\sqrt{x+5}+4⩽x-21\iff \sqrt{x+5}⩽x-25.$$

Левая часть — арифметический корень, она неотрицательна. Поэтому решения возможны только при $x-25⩾0$. Когда обе части неотрицательны, возведение в квадрат — равносильный переход:

$$\sqrt{x+5}⩽x-25\iff \{\begin{array}{l}x⩾25,\\ x+5⩽(x-25{)}^2.\end{array}$$

Условие $x+5⩾0$ здесь выполняется само, так как $x⩾25$. Раскроем скобки во втором неравенстве:

$$x+5⩽x^2-50x+625\iff x^2-51x+620⩾0.$$

Найдём корни: $D=51^2-4\cdot 620=2601-2480=121=11^2$, $x_{1,2}=\frac{51\pm 11}{2}$, то есть $x_1=20$, $x_2=31$. Значит,

$$(x-20)(x-31)⩾0.$$

Получаем $x⩽20$ или $x⩾31$. Вместе с условием $x⩾25$ остаётся $x⩾31$; условие случая $x>21$ при этом тоже выполнено.

Объединим результаты двух случаев:

Ответ: $[5;21)\cup [31;+\infty )$.