ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем второй знаменатель, используя свойства степеней $4^x={\left(2^x\right)}^2$ и $2^{x+4}=2^4\cdot 2^x=16\cdot 2^x$:

$$4^x-2^{x+4}+64={\left(2^x\right)}^2-16\cdot 2^x+64={\left(2^x-8\right)}^2.$$

Найдём ОДЗ. Оба знаменателя обращаются в ноль при одном и том же условии $2^x=8=2^3$, то есть при $x=3$. ОДЗ: $x\ne 3$.

Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; по ОДЗ $t\ne 8$. Неравенство принимает вид

$$1+\frac{11}{t-8}+\frac{28}{(t-8{)}^2}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $(t-8{)}^2$:

$$\frac{(t-8{)}^2+11(t-8)+28}{(t-8{)}^2}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$t^2-16t+64+11t-88+28=t^2-5t+4.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-5t+4$ — числа $1$ и $4$ (сумма $5$, произведение $4$), поэтому

$$\frac{(t-1)(t-4)}{(t-8{)}^2}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $1$ и $4$ закрашиваем, нуль знаменателя $8$ выкалываем. При переходе через $8$ знак не меняется, так как $(t-8{)}^2$ — чётная степень.

Учтём условие $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽1,\\ 4⩽t<8,\\ t>8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $1=2^0$, $4=2^2$, $8=2^3$. Основание $2>1$, поэтому функция $2^x$ возрастает, и неравенство между степенями равносильно неравенству того же знака между показателями. Условие $2^x>0$ выполняется всегда.

$$[\begin{array}{l}{2}^x⩽2^0,\\ 2^2⩽2^x<2^3,\\ 2^x>2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽0,\\ 2⩽x<3,\\ x>3.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;0]\cup [2;3)\cup (3;+\infty )$.