ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 1$ и $x\ne -1$.

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$(x+1{)}^2-(x-1{)}^2-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}⩽0.$$

Разность квадратов посчитаем по формулам $(x\pm 1{)}^2=x^2\pm 2x+1$:

$$(x+1{)}^2-(x-1{)}^2=(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x.$$

Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю $(x-1)(x+1)=x^2-1$:

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}.$$

Неравенство принимает вид

$$4x-\frac{2x}{x^2-1}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4x(x^2-1)-2x}{x^2-1}⩽0\iff \frac{4x^3-6x}{x^2-1}⩽0\iff \frac{2x(2x^2-3)}{(x-1)(x+1)}⩽0.$$

Разделим обе части на положительное число $4$ (знак неравенства сохраняется) и разложим $x^2-\frac{3}{2}$ по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^2-\frac{3}{2}=\left(x-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{3}{2}}\right).$$

Получаем

$$\frac{x\left(x-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)}{(x-1)(x+1)}⩽0.$$

Расположим точки по порядку. Так как $\frac{3}{2}>1$, то $\sqrt{\frac{3}{2}}>1$, поэтому

$$-\sqrt{\frac{3}{2}}<-1<0<1<\sqrt{\frac{3}{2}}.$$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя $-\sqrt{\frac{3}{2}}$, $0$, $\sqrt{\frac{3}{2}}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $-1$ и $1$ выкалываем. Все множители первой степени, поэтому при переходе через каждую точку знак меняется; при больших $x$ дробь положительна.

Выбираем промежутки со знаком «минус» вместе с закрашенными точками.

Ответ: $\left(-\infty ;-\sqrt{\frac{3}{2}}\right]\cup (-1;0]\cup \left(1;\sqrt{\frac{3}{2}}\right]$.