ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $\frac{9}{x}>0$ и $\frac{x}{27}>0$, оба условия дают $x>0$. Кроме того, знаменатель не равен нулю: ${\log }_3\frac{9}{x}\ne 0$, то есть $\frac{9}{x}\ne 1$, $x\ne 9$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne 9$.

При $x>0$ применим свойство логарифма частного ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (при $b>0$, $c>0$):

$${\log }_3\frac{9}{x}={\log }_{3}9-{\log }_{3}x=2-{\log }_{3}x,{\log }_3\frac{x}{27}={\log }_{3}x-{\log }_{3}27={\log }_{3}x-3.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Условие $x\ne 9$ превращается в $t\ne 2$. Неравенство принимает вид

$$\frac{1}{2-t}+1⩾t-3.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{1}{2-t}+4-t⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $2-t$:

$$\frac{1+(4-t)(2-t)}{2-t}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $(4-t)(2-t)=8-6t+t^2$, значит, числитель равен $t^2-6t+9$. Это полный квадрат разности: $t^2-2\cdot 3\cdot t+3^2=(t-3{)}^2$. Получаем

$$\frac{(t-3{)}^2}{2-t}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $t=2$ выкалываем. Числитель неотрицателен при всех $t$, поэтому знак дроби определяется знаменателем $2-t$: при $t<2$ дробь положительна, при $t>2$ — отрицательна. Через точку $3$ знак не меняется (квадрат), но в ней дробь равна нулю, и эта точка подходит.

Получаем

$$[\begin{array}{l}t<2,\\ t=3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Основание $3>1$, поэтому функция ${\log }_{3}x$ возрастает и знак неравенства между аргументами сохраняется:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}9,\\ {\log }_{3}x={\log }_{3}27\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<9,\\ x=27.\end{array}$$

Оба множества лежат в ОДЗ.

Ответ: $(0;9)\cup \{27\}$.