ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Логарифм определён при $x>0$. Кроме того, выражение ${\log }_2^{2}x+6{\log }_{2}x$ стоит в знаменателях, поэтому оно не должно равняться нулю. Вынесем ${\log }_{2}x$ за скобку:

$${\log }_2^{2}x+6{\log }_{2}x={\log }_{2}x\cdot ({\log }_{2}x+6)\ne 0\iff \{\begin{array}{l}{\log }_{2}x\ne 0,\\ {\log }_{2}x\ne -6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 1,\\ x\ne \frac{1}{64}.\end{array}$$

ОДЗ: $x>0$, $x\ne 1$, $x\ne \frac{1}{64}$.

В неравенстве дважды встречается одно и то же выражение, поэтому сделаем замену $t={\log }_2^{2}x+6{\log }_{2}x$, где по ОДЗ $t\ne 0$:

$$\frac{45}{t^2}+\frac{14}{t}+1⩾0.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю $t^2$:

$$\frac{t^2+14t+45}{t^2}⩾0.$$

Разложим числитель на множители. По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+14t+45$ имеют сумму $-14$ и произведение $45$ — это $t=-9$ и $t=-5$. Получаем

$$\frac{(t+9)(t+5)}{t^2}⩾0.$$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя $t=-9$ и $t=-5$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое; нуль знаменателя $t=0$ выкалываем. При больших $t$ дробь положительна. При переходе через $-9$ и $-5$ знак меняется, а через $0$ — нет, потому что множитель $t^2$ стоит в чётной степени.

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t⩽-9,\\ t⩾-5,t\ne 0.\end{array}$$

Вернёмся к $x$ в два шага. Обозначим $y={\log }_{2}x$, тогда $t=y^2+6y$.

Первое условие: $y^2+6y⩽-9$. Перенесём $-9$ влево и свернём левую часть по формуле квадрата суммы:

$$y^2+6y+9⩽0\iff (y+3{)}^2⩽0.$$

Квадрат не бывает отрицательным, поэтому возможен только случай равенства: $y=-3$.

Второе условие: $y^2+6y⩾-5$, то есть $y^2+6y+5⩾0$. Корни трёхчлена по теореме Виета — $-5$ и $-1$, поэтому

$$(y+5)(y+1)⩾0.$$

Кроме того, $t\ne 0$, то есть $y(y+6)\ne 0$: $y\ne 0$ и $y\ne -6$. Обе точки попали в найденное множество, их нужно выколоть. Добавим к результату точку $y=-3$ из первого условия:

$$y\in (-\infty ;-6)\cup (-6;-5]\cup \{-3\}\cup [-1;0)\cup (0;+\infty ).$$

Сделаем обратную замену $y={\log }_{2}x$. Запишем граничные числа как логарифмы по основанию $2$:

$$-6={\log }_2\frac{1}{64},-5={\log }_2\frac{1}{32},-3={\log }_2\frac{1}{8},-1={\log }_2\frac{1}{2},0={\log }_{2}1.$$

Основание $2>1$, поэтому функция ${\log }_{2}x$ возрастает на $(0;+\infty )$: большему логарифму соответствует больший аргумент, знак неравенства сохраняется. Разберём три части.

1. ${\log }_{2}x⩽{\log }_2\frac{1}{32}$ и ${\log }_{2}x\ne {\log }_2\frac{1}{64}$. Учитывая $x>0$, получаем $0<x⩽\frac{1}{32}$, $x\ne \frac{1}{64}$.

2. ${\log }_{2}x={\log }_2\frac{1}{8}$, откуда $x=\frac{1}{8}$.

3. ${\log }_{2}x⩾{\log }_2\frac{1}{2}$ и ${\log }_{2}x\ne {\log }_{2}1$, откуда $x⩾\frac{1}{2}$, $x\ne 1$.

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ: точки $x=1$ и $x=\frac{1}{64}$ уже исключены.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{64}\right)\cup \left(\frac{1}{64};\frac{1}{32}\right]\cup \left\{\frac{1}{8}\right\}\cup \left[\frac{1}{2};1\right)\cup (1;+\infty )$.