ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$. Так как $8^x={\left(2^x\right)}^3=t^3$ и $4^x={\left(2^x\right)}^2=t^2$, неравенство принимает вид

$$t^3-3t^2+\frac{9t^2-288}{t-9}⩽32.$$

Ограничение: знаменатель не равен нулю, то есть $t\ne 9$ (в исходной переменной $2^x\ne 9$, $x\ne {\log }_{2}9$).

Перенесём $32$ влево и приведём к общему знаменателю $t-9$:

$$\frac{\left(t^3-3t^2-32\right)(t-9)+9t^2-288}{t-9}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\left(t^3-3t^2-32\right)(t-9)=t^4-9t^3-3t^3+27t^2-32t+288=t^4-12t^3+27t^2-32t+288.$$

Прибавим $9t^2-288$ — свободные члены сократятся:

$$t^4-12t^3+36t^2-32t=t\left(t^3-12t^2+36t-32\right).$$

Разложим многочлен третьей степени. Подберём корень среди делителей свободного члена $32$: при $t=2$ получаем $8-48+72-32=0$. Значит, многочлен делится на $t-2$. Выделим этот множитель группировкой:

$$t^3-12t^2+36t-32=\left(t^3-2t^2\right)-\left(10t^2-20t\right)+(16t-32)=(t-2)\left(t^2-10t+16\right).$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-10t+16$ — $2$ и $8$, поэтому $t^2-10t+16=(t-2)(t-8)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t(t-2{)}^2(t-8)}{t-9}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=0$, $t=2$, $t=8$ закрашиваем, нуль знаменателя $t=9$ выкалываем. При больших $t$ дробь положительна. При переходе через $t=2$ знак не меняется, так как множитель $(t-2{)}^2$ стоит в чётной степени; через остальные точки знак меняется.

Получаем $t⩽0$, или $t=2$, или $8⩽t<9$. Точка $t=2$ входит в решение отдельно: в ней дробь равна нулю.

Учтём условие $t>0$: промежуток $t⩽0$ отпадает.

$$[\begin{array}{l}t=2,\\ 8⩽t<9.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Уравнение $2^x=2$ даёт $x=1$. Во втором случае запишем $8=2^3$, $9=2^{{\log }_{2}9}$; основание $2>1$, показательная функция возрастает, поэтому

$$2^3⩽2^x<2^{{\log }_{2}9}⟺3⩽x<{\log }_{2}9.$$

Так как $8<9<16$, имеем $3<{\log }_{2}9<4$.

Ответ: $\{1\}\cup \left[3;{\log }_{2}9\right)$.