ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражение под первым логарифмом положительно, основание второго логарифма положительно и не равно единице:

$$\{\begin{array}{l}x+5>0,\\ x^2+10x+25>0,\\ x^2+10x+25\ne 1.\end{array}$$

По формуле квадрата суммы $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$. При $x>-5$ этот квадрат положителен. Условие $(x+5{)}^2\ne 1$ означает $x+5\ne \pm 1$, то есть $x\ne -4$ и $x\ne -6$; число $-6$ и так не входит в промежуток $x>-5$. ОДЗ: $x\in (-5;-4)\cup (-4;+\infty )$.

Приведём оба логарифма к основанию $2$. Так как $16=2^4$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{16}(x+5)=\frac{1}{4}{\log }_2(x+5).$$

Для второго логарифма применим формулу ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ и свойство логарифма степени (на ОДЗ $x+5>0$):

$${\log }_{(x+5{)}^2}2=\frac{1}{{\log }_2(x+5{)}^2}=\frac{1}{2{\log }_2(x+5)}.$$

Сделаем замену $t={\log }_2(x+5)$. На ОДЗ $x\ne -4$, то есть $x+5\ne 1$, поэтому $t\ne 0$:

$$\frac{t}{4}+\frac{1}{2t}⩾\frac{3}{4}.$$

Умножим обе части на положительное число $4$ и перенесём всё влево. Умножать на $t$ нельзя — его знак неизвестен, поэтому приводим к общему знаменателю:

$$t+\frac{2}{t}-3⩾0⟺\frac{t^2-3t+2}{t}⩾0⟺\frac{(t-1)(t-2)}{t}⩾0.$$

Корни трёхчлена $t^2-3t+2$ нашли по теореме Виета: $1$ и $2$.

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=1$ и $t=2$ закрашиваем, нуль знаменателя $t=0$ выкалываем. При больших $t$ дробь положительна, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем

$$[\begin{array}{l}0<t⩽1,\\ t⩾2.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Запишем $0={\log }_{2}1$, $1={\log }_{2}2$, $2={\log }_{2}4$. Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому неравенства между логарифмами равносильны таким же неравенствам между аргументами:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{2}1<{\log }_2(x+5)⩽{\log }_{2}2,\\ {\log }_2(x+5)⩾{\log }_{2}4\end{array}⟺[\begin{array}{l}1<x+5⩽2,\\ x+5⩾4\end{array}⟺[\begin{array}{l}-4<x⩽-3,\\ x⩾-1.\end{array}$$

Оба промежутка лежат в ОДЗ.

Ответ: $(-4;-3]\cup [-1;+\infty )$.