ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Неравенство определено при всех $x$.

Перенесём всё в левую часть:

$${\left(25^x-4\cdot 5^x\right)}^2+8\cdot 5^x-2\cdot 25^x-15<0.$$

Заметим, что $8\cdot 5^x-2\cdot 25^x=-2\left(25^x-4\cdot 5^x\right)$, то есть в неравенстве дважды встречается одно и то же выражение:

$${\left(25^x-4\cdot 5^x\right)}^2-2\left(25^x-4\cdot 5^x\right)-15<0.$$

Сделаем замену $t=25^x-4\cdot 5^x$:

$$t^2-2t-15<0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена — $-3$ и $5$ (сумма $2$, произведение $-15$), поэтому $(t+3)(t-5)<0$. Произведение отрицательно между корнями:

Получаем $-3<t<5$.

Сделаем вторую замену $y=5^x$, где $y>0$. Так как $25^x={\left(5^x\right)}^2=y^2$, имеем $t=y^2-4y$, и

$$\{\begin{array}{l}{y}^2-4y<5,\\ y^2-4y>-3\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{y}^2-4y-5<0,\\ y^2-4y+3>0.\end{array}$$

Первое неравенство. Корни трёхчлена $y^2-4y-5$ — $-1$ и $5$, поэтому $(y+1)(y-5)<0$:

Получаем $-1<y<5$.

Второе неравенство. Корни трёхчлена $y^2-4y+3$ — $1$ и $3$, поэтому $(y-1)(y-3)>0$:

Получаем $y<1$ или $y>3$.

Пересечём оба решения с условием $y>0$ (граница $-1$ при этом не нужна, так как $-1<0$):

$$[\begin{array}{l}0<5^x<1,\\ 3<5^x<5.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Неравенство $5^x>0$ верно при всех $x$. Запишем $1=5^0$, $3=5^{{\log }_{5}3}$, $5=5^1$. Основание $5>1$, показательная функция возрастает, поэтому неравенства между степенями равносильны таким же неравенствам между показателями:

$$[\begin{array}{l}x<0,\\ {\log }_{5}3<x<1.\end{array}$$

Так как $1<3<5$, имеем $0<{\log }_{5}3<1$, и промежутки расположены так:

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \left({\log }_{5}3;1\right)$.