ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим выражение под первым логарифмом на множители группировкой и по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^3-3x^2-9x+27=x^2(x-3)-9(x-3)=(x-3)\left(x^2-9\right)=(x-3{)}^2(x+3).$$

Найдём ОДЗ. Выражения под логарифмами положительны:

$$\{\begin{array}{l}(x-3{)}^2(x+3)>0,\\ (x-3{)}^4>0.\end{array}$$

Второе неравенство верно при $x\ne 3$. При $x\ne 3$ множитель $(x-3{)}^2$ положителен, и первое неравенство сводится к $x+3>0$. ОДЗ: $x\in (-3;3)\cup (3;+\infty )$.

Приведём правую часть к основанию $0,5$. Так как $0,25=0,5^2$ и $(x-3{)}^4={\left((x-3{)}^2\right)}^2$, по свойствам ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$; здесь $b=(x-3{)}^2>0$ на ОДЗ):

$${\log }_{0,25}(x-3{)}^4=\frac{1}{2}{\log }_{0,5}{\left((x-3{)}^2\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot 2{\log }_{0,5}(x-3{)}^2={\log }_{0,5}(x-3{)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{0,5}((x-3{)}^2(x+3))⩽{\log }_{0,5}(x-3{)}^2.$$

Основание $0,5<1$, поэтому функция $y={\log }_{0,5}t$ убывает: меньшему значению логарифма соответствует больший аргумент. На ОДЗ неравенство равносильно неравенству аргументов с противоположным знаком:

$$(x-3{)}^2(x+3)⩾(x-3{)}^2.$$

Перенесём всё влево и вынесем $(x-3{)}^2$:

$$(x-3{)}^2(x+3-1)⩾0⟺(x-3{)}^2(x+2)⩾0.$$

На ОДЗ $x\ne 3$, поэтому $(x-3{)}^2>0$. Разделим на этот положительный множитель, знак сохранится:

$$x+2⩾0⟺x⩾-2.$$

Пересечём с ОДЗ $(-3;3)\cup (3;+\infty )$: так как $-2>-3$, левая граница — $-2$, а точку $3$ выкалываем.

Ответ: $[-2;3)\cup (3;+\infty )$.