ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничения: знаменатель не равен нулю, то есть $x\ne -3$, $x\ne -5$, $x\ne -6$.

Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x-3)(x-5)(x-6)-(x+3)(x+5)(x+6)}{(x+3)(x+5)(x+6)}>0.$$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим первые две скобки, затем умножим на третью:

$$(x-3)(x-5)(x-6)=\left(x^2-8x+15\right)(x-6)=x^3-14x^2+63x-90;$$

$$(x+3)(x+5)(x+6)=\left(x^2+8x+15\right)(x+6)=x^3+14x^2+63x+90.$$

Вычтем второе выражение из первого: слагаемые $x^3$ и $63x$ сокращаются, остаётся

$$x^3-14x^2+63x-90-\left(x^3+14x^2+63x+90\right)=-28x^2-180=-4\left(7x^2+45\right).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{-4\left(7x^2+45\right)}{(x+3)(x+5)(x+6)}>0.$$

Разделим обе части на $-4$, знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{7x^2+45}{(x+3)(x+5)(x+6)}<0.$$

Так как $7x^2⩾0$, числитель $7x^2+45⩾45>0$ при всех $x$. Значит, на знак дроби он не влияет, и неравенство равносильно следующему:

$$(x+3)(x+5)(x+6)<0.$$

Решим методом интервалов. Нули $x=-6$, $x=-5$, $x=-3$; неравенство строгое — точки выкалываем. При больших $x$ все множители положительны, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x<-6$ или $-5<x<-3$.

Ответ: $(-\infty ;-6)\cup (-5;-3)$.