ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Подкоренные выражения неотрицательны:

$$\{\begin{array}{l}x+9⩾0,\\ x-9⩾0\end{array}⟺x⩾9.$$

На ОДЗ $\sqrt{x-9}⩾0$, поэтому знаменатель $\sqrt{x-9}+2⩾2>0$. Умножим обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x-9}+2$, знак неравенства сохранится:

$$\sqrt{x+9}-2>\left(\sqrt{x-9}-2\right)\left(\sqrt{x-9}+2\right).$$

По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и так как ${\left(\sqrt{x-9}\right)}^2=x-9$ на ОДЗ:

$$\sqrt{x+9}-2>x-9-4⟺\sqrt{x+9}>x-11.$$

Левая часть неотрицательна, а знак правой зависит от $x$. Рассмотрим два случая.

1. $x-11<0$, то есть $9⩽x<11$ (с учётом ОДЗ). Правая часть отрицательна, а корень неотрицателен, поэтому неравенство верно при всех таких $x$. Получаем $x\in [9;11)$.

2. $x-11⩾0$, то есть $x⩾11$. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное неравенство:

$$x+9>(x-11{)}^2⟺x+9>x^2-22x+121⟺x^2-23x+112<0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена — $7$ и $16$ (сумма $23$, произведение $112$), поэтому

$$(x-7)(x-16)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

Получаем $7<x<16$. Вместе с условием случая $x⩾11$ остаётся $11⩽x<16$.

Объединим решения двух случаев: $[9;11)\cup [11;16)=[9;16)$.

Ответ: $[9;16)$.