ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничение: знаменатель не равен нулю. Так как $10^x=5^x\cdot 2^x$ и $2^{2x}={\left(2^x\right)}^2$,

$$10^x-2^{2x}=2^x\left(5^x-2^x\right).$$

Множитель $2^x$ положителен, а $5^x=2^x$ только при $x=0$ (иначе ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x\ne 1$). Значит, $x\ne 0$.

Преобразуем числитель по свойствам степеней: $5^{2x}={\left(5^x\right)}^2$, $2^{x+1}=2\cdot 2^x$, $4^{x+1}=4\cdot {\left(2^x\right)}^2$:

$$2\cdot 5^{2x}-6\cdot 5^x\cdot 2^x+4\cdot 2^{2x}.$$

Все слагаемые в числителе и знаменателе — однородные выражения второй степени относительно $5^x$ и $2^x$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $2^{2x}>0$ — значение дроби не изменится:

$$\frac{2{\left(\frac{5}{2}\right)}^{2x}-6{\left(\frac{5}{2}\right)}^x+4}{{\left(\frac{5}{2}\right)}^x-1}⩽1.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{2}\right)}^x$, где $t>0$ (показательная функция положительна), а $t\ne 1$ (это условие $x\ne 0$):

$$\frac{2t^2-6t+4}{t-1}⩽1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t^2-6t+4-(t-1)}{t-1}⩽0⟺\frac{2t^2-7t+5}{t-1}⩽0.$$

Разложим числитель. Дискриминант $D=49-40=9$, корни $t_1=\frac{7-3}{4}=1$ и $t_2=\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}$. Значит, $2t^2-7t+5=(t-1)(2t-5)$:

$$\frac{(t-1)(2t-5)}{t-1}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Точку $t=1$ выкалываем (нуль знаменателя), точку $t=\frac{5}{2}$ закрашиваем (неравенство нестрогое), точку $t=0$ выкалываем по условию $t>0$. При $t\ne 1$ дробь равна $2t-5$, поэтому знак меняется только в точке $\frac{5}{2}$: правее неё плюс, левее — минус.

Получаем

$$\{\begin{array}{l}0<t⩽\frac{5}{2},\\ t\ne 1.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Неравенство $t>0$ выполнено при всех $x$. Основание $\frac{5}{2}>1$, функция $y={\left(\frac{5}{2}\right)}^x$ возрастает, поэтому

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^x⩽{\left(\frac{5}{2}\right)}^1⟺x⩽1,{\left(\frac{5}{2}\right)}^x\ne {\left(\frac{5}{2}\right)}^0⟺x\ne 0.$$

Ответ: $(-\infty ;0)\cup (0;1]$.