ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражение под логарифмом должно быть положительным:

$$25-x^2>0⟺x^2<25⟺-5<x<5.$$

Сделаем замену $y={\log }_5\left(25-x^2\right)$. Неравенство принимает вид

$$y^2-3y+2⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена — $1$ и $2$ (сумма $3$, произведение $2$), поэтому

$$(y-1)(y-2)⩾0.$$

Неравенство нестрогое, точки закрашиваем. Старший коэффициент положителен, поэтому произведение неотрицательно вне интервала между корнями:

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}y⩽1,\\ y⩾2\end{array}⟺[\begin{array}{l}{\log }_5\left(25-x^2\right)⩽1,\\ {\log }_5\left(25-x^2\right)⩾2.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Запишем $1={\log }_{5}5$. Основание $5>1$, функция $y={\log }_{5}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ (где $25-x^2>0$) неравенство равносильно неравенству аргументов:

$$25-x^2⩽5⟺x^2⩾20⟺\left(x-2\sqrt{5}\right)\left(x+2\sqrt{5}\right)⩾0.$$

Здесь $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Произведение неотрицательно вне интервала между корнями:

Получаем $x⩽-2\sqrt{5}$ или $x⩾2\sqrt{5}$. С учётом ОДЗ, и так как $2\sqrt{5}=\sqrt{20}<\sqrt{25}=5$, остаётся $x\in \left(-5;-2\sqrt{5}\right]\cup \left[2\sqrt{5};5\right)$.

Решим второе неравенство. Запишем $2={\log }_{5}25$. По той же причине (основание больше единицы) переходим к аргументам:

$$25-x^2⩾25⟺x^2⩽0⟺x=0.$$

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому подходит только $x=0$. Это значение лежит в ОДЗ.

Объединим решения обоих неравенств:

Ответ: $\left(-5;-2\sqrt{5}\right]\cup \{0\}\cup \left[2\sqrt{5};5\right)$.