ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Выражение под логарифмом положительно: $|x|>0$, то есть $x\ne 0$. Знаменатель не равен нулю: $x^2\ne 9$, то есть $x\ne \pm 3$.

Упростим логарифм. Так как $\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{\sqrt{3}}|x|=2{\log }_3|x|,{\log }_{\sqrt{3}}^2|x|=4{\log }_3^2|x|.$$

Так как $x^2=|x{|}^2$, всё неравенство зависит только от $|x|$. Сделаем замену $t=|x|$, где $t>0$ и $t\ne 3$:

$$\frac{t^2-4{\log }_3^{2}t}{t^2-9}⩾1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t^2-4{\log }_3^{2}t-\left(t^2-9\right)}{t^2-9}⩾0⟺\frac{9-4{\log }_3^{2}t}{t^2-9}⩾0.$$

Умножим на $-1$, сменив знак неравенства, и разложим числитель и знаменатель по формуле разности квадратов:

$$\frac{\left(2{\log }_{3}t-3\right)\left(2{\log }_{3}t+3\right)}{(t-3)(t+3)}⩽0.$$

Так как $t>0$, множитель $t+3$ положителен, на него можно умножить без смены знака:

$$\frac{\left(2{\log }_{3}t-3\right)\left(2{\log }_{3}t+3\right)}{t-3}⩽0.$$

Запишем скобки числителя как разности логарифмов по основанию $3$. Так как $\frac{3}{2}={\log }_3{3}^{\frac{3}{2}}={\log }_{3}3\sqrt{3}$ и $-\frac{3}{2}={\log }_3{3}^{-\frac{3}{2}}={\log }_3\frac{1}{3\sqrt{3}}={\log }_3\frac{\sqrt{3}}{9}$:

$$2{\log }_{3}t-3=2\left({\log }_{3}t-{\log }_{3}3\sqrt{3}\right),2{\log }_{3}t+3=2\left({\log }_{3}t-{\log }_3\frac{\sqrt{3}}{9}\right).$$

Применим метод рационализации. Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому при $t>0$ разность ${\log }_{3}t-{\log }_{3}c$ имеет тот же знак, что и $t-c$. Положительные множители $2$ на знак не влияют. Значит, неравенство равносильно следующему:

$$\frac{\left(t-3\sqrt{3}\right)\left(t-\frac{\sqrt{3}}{9}\right)}{t-3}⩽0,t>0.$$

Расположим точки: $\frac{\sqrt{3}}{9}<1<3<3\sqrt{3}$. Нули числителя закрашиваем, нуль знаменателя $t=3$ выкалываем, точку $0$ выкалываем по условию $t>0$. При больших $t$ дробь положительна, при переходе через каждую из точек $\frac{\sqrt{3}}{9}$, $3$, $3\sqrt{3}$ знак меняется.

Получаем

$$[\begin{array}{l}0<t⩽\frac{\sqrt{3}}{9},\\ 3<t⩽3\sqrt{3}.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Неравенство $0<|x|⩽\frac{\sqrt{3}}{9}$ означает $-\frac{\sqrt{3}}{9}⩽x⩽\frac{\sqrt{3}}{9}$, $x\ne 0$. Неравенство $3<|x|⩽3\sqrt{3}$ означает $-3\sqrt{3}⩽x<-3$ или $3<x⩽3\sqrt{3}$. Все эти значения удовлетворяют ограничениям $x\ne 0$, $x\ne \pm 3$.

Ответ: $\left[-3\sqrt{3};-3\right)\cup \left[-\frac{\sqrt{3}}{9};0\right)\cup \left(0;\frac{\sqrt{3}}{9}\right]\cup \left(3;3\sqrt{3}\right]$.