Решите неравенство 3^x·log₅ x+5^x·log₃ x>3·5^(x-1)·log₅… — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифм с переменным основанием сложная 2026 развёрнутое

Решите неравенство

$3^{x} \cdot lo g_{5} x + 5^{x} \cdot lo g_{3} x > 3 \cdot 5^{x - 1} \cdot lo g_{5} x + 5 \cdot 3^{x - 1} \cdot lo g_{3} x .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x > 0$ — под знаком логарифмов должно стоять положительное число.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их по логарифмам:

$lo g_{5} x \cdot (3^{x} - 3 \cdot 5^{x - 1}) + lo g_{3} x \cdot (5^{x} - 5 \cdot 3^{x - 1}) > 0.$

Так как $3^{x} = 3 \cdot 3^{x - 1}$ и $5^{x} = 5 \cdot 5^{x - 1}$ , вынесем числа из скобок:

$3 lo g_{5} x \cdot (3^{x - 1} - 5^{x - 1}) + 5 lo g_{3} x \cdot (5^{x - 1} - 3^{x - 1}) > 0.$

Скобки отличаются только знаком. Вынесем общий множитель $3^{x - 1} - 5^{x - 1}$ :

$(3^{x - 1} - 5^{x - 1}) (3 lo g_{5} x - 5 lo g_{3} x) > 0.$

Во второй скобке перейдём к одному основанию. По формуле $lo g_{3} x = lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} x$ (это формула перехода $lo g_{5} x = \frac{lo g _{3} x}{lo g _{3} 5}$ ):

$3 lo g_{5} x - 5 lo g_{3} x = 3 lo g_{5} x - 5 lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} x = (3 - 5 lo g_{3} 5) lo g_{5} x .$

Определим знак числа $3 - 5 lo g_{3} 5$ . Так как $5 > 3$ и логарифм по основанию $3 > 1$ возрастает, $lo g_{3} 5 > lo g_{3} 3 = 1$ . Тогда $5 lo g_{3} 5 > 5 > 3$ , то есть $3 - 5 lo g_{3} 5 < 0$ .

Разделим неравенство на отрицательное число $3 - 5 lo g_{3} 5$ , знак неравенства меняется на противоположный:

$(3^{x - 1} - 5^{x - 1}) lo g_{5} x < 0.$

Определим знак каждого множителя (метод рационализации).

Первый множитель: $3^{x - 1} - 5^{x - 1} = 5^{x - 1} ((\frac{3}{5})^{x - 1} - (\frac{3}{5})^{0})$ . Число $5^{x - 1}$ положительно. Основание $\frac{3}{5} < 1$ , поэтому функция $y = (\frac{3}{5})^{t}$ убывает, и разность в скобке имеет знак, противоположный знаку $(x - 1) - 0$ . Итак, знак первого множителя совпадает со знаком $- (x - 1)$ .

Второй множитель: $lo g_{5} x = lo g_{5} x - lo g_{5} 1$ . Основание $5 > 1$ , логарифм возрастает, поэтому знак совпадает со знаком $x - 1$ .

Значит, на ОДЗ неравенство равносильно следующему:

$- (x - 1) (x - 1) < 0 ⟺ (x - 1)^{2} > 0 ⟺ x \neq = 1.$

Проверим это рассуждение напрямую. При $0 < x < 1$ показатель $x - 1$ отрицателен, поэтому $3^{x - 1} = \frac{1}{3 ^{1 - x}} > \frac{1}{5 ^{1 - x}} = 5^{x - 1}$ : первый множитель положителен, а $lo g_{5} x < 0$ — произведение отрицательно. При $x > 1$ первый множитель отрицателен, а $lo g_{5} x > 0$ — произведение снова отрицательно. При $x = 1$ произведение равно нулю, и строгое неравенство не выполнено.

С учётом ОДЗ $x > 0$ получаем:

Решение на числовой прямой

Ответ: $(0; 1) \cup (1; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16