Решите неравенство x²log₅₁₂(x+7)≤log₂(x²+14x+49) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифм с переменным основанием средняя развёрнутое

Решите неравенство

$x^{2} lo g_{512} (x + 7) \leq lo g_{2} (x^{2} + 14 x + 49) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражения под логарифмами положительны:

${x + 7 > 0, x^{2} + 14 x + 49 > 0.$

По формуле квадрата суммы $x^{2} + 14 x + 49 = (x + 7)^{2}$ , и при $x > - 7$ это выражение положительно автоматически. ОДЗ: $x > - 7$ .

Приведём оба логарифма к основанию $2$ . Так как $512 = 2^{9}$ , по свойству $lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$ :

$lo g_{512} (x + 7) = lo g_{2^{9}} (x + 7) = \frac{1}{9} lo g_{2} (x + 7) .$

На ОДЗ $x + 7 > 0$ , поэтому по свойству логарифма степени

$lo g_{2} (x^{2} + 14 x + 49) = lo g_{2} (x + 7)^{2} = 2 lo g_{2} (x + 7) .$

Неравенство принимает вид

$\frac{x ^{2}}{9} lo g_{2} (x + 7) ⩽ 2 lo g_{2} (x + 7) .$

Умножим обе части на $9$ , перенесём всё влево и вынесем общий множитель $lo g_{2} (x + 7)$ :

$(x^{2} - 18) lo g_{2} (x + 7) ⩽ 0.$

Применим метод рационализации. Запишем $lo g_{2} (x + 7) = lo g_{2} (x + 7) - lo g_{2} 1$ . Основание $2 > 1$ , логарифм возрастает, поэтому знак этой разности совпадает со знаком $(x + 7) - 1 = x + 6$ . Значит, на ОДЗ неравенство равносильно следующему:

$(x^{2} - 18) (x + 6) ⩽ 0 ⟺ (x - 32) (x + 32) (x + 6) ⩽ 0.$

Здесь $x^{2} - 18 = (x - 18) (x + 18)$ и $18 = 32$ .

Расположим нули на прямой. Так как $32 = 18 < 36 = 6$ , имеем $- 6 < - 32 < 32$ . Неравенство нестрогое — точки закрашиваем. При больших $x$ все множители положительны, при переходе через каждую точку знак меняется.

Метод интервалов

Получаем $x \in (- \infty; - 6] \cup [- 32; 32]$ . Пересечём с ОДЗ $x > - 7$ : от первого промежутка остаётся $(- 7; - 6]$ .

Ответ на числовой прямой

Ответ: $(- 7; - 6] \cup [- 32; 32]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16