ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Основание логарифма положительно и не равно единице, выражение под логарифмом положительно (а для этого корень должен существовать и быть ненулевым):

$$\{\begin{array}{l}|x-5|>0,\\ |x-5|\ne 1,\\ \sqrt{x-3}>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ne 5,\\ x\ne 4,x\ne 6,\\ x>3.\end{array}$$

ОДЗ: $x\in (3;4)\cup (4;5)\cup (5;6)\cup (6;+\infty )$.

Умножим обе части неравенства на $4$ и воспользуемся свойством $k{\log }_{a}b={\log }_a{b}^k$ (при $b>0$). На ОДЗ $\sqrt{x-3}>0$, и ${\left(\sqrt{x-3}\right)}^4=(x-3{)}^2$:

$$4{\log }_{|x-5|}\sqrt{x-3}⩽1⟺{\log }_{|x-5|}(x-3{)}^2⩽1.$$

Запишем единицу как логарифм с тем же основанием: $1={\log }_{|x-5|}|x-5|$. Перенесём всё влево:

$${\log }_{|x-5|}(x-3{)}^2-{\log }_{|x-5|}|x-5|⩽0.$$

Применим метод рационализации: при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $c>0$ разность ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ имеет тот же знак, что и $(a-1)(b-c)$ (при $a>1$ логарифм возрастает и оба выражения имеют знак $b-c$; при $0<a<1$ логарифм убывает, и оба выражения имеют знак, противоположный $b-c$). На ОДЗ $(x-3{)}^2>0$ и $|x-5|>0$, поэтому неравенство равносильно следующему:

$$(|x-5|-1\left)\right((x-3{)}^2-|x-5|)⩽0.$$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. $x>5$ (на ОДЗ точка $5$ исключена). Тогда $|x-5|=x-5$:

$$(x-5-1)(x^2-6x+9-x+5)⩽0⟺(x-6)\left(x^2-7x+14\right)⩽0.$$

У трёхчлена $x^2-7x+14$ дискриминант $D=49-56=-7<0$, старший коэффициент положителен, поэтому $x^2-7x+14>0$ при всех $x$. Разделим на него:

$$x-6⩽0⟺x⩽6.$$

Вместе с условием $x>5$ получаем $5<x⩽6$, а с учётом ОДЗ ($x\ne 6$) остаётся $5<x<6$.

2. $3<x<5$, $x\ne 4$. Тогда $|x-5|=5-x$:

$$(5-x-1)(x^2-6x+9-5+x)⩽0⟺(4-x)\left(x^2-5x+4\right)⩽0.$$

Корни трёхчлена $x^2-5x+4$ по теореме Виета — $1$ и $4$, поэтому $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$. Так как $4-x=-(x-4)$, получаем

$$-(x-4{)}^2(x-1)⩽0⟺(x-4{)}^2(x-1)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули $x=1$ и $x=4$ закрашиваем. При $x>4$ выражение положительно; через точку $4$ знак не меняется (чётная степень), через точку $1$ меняется.

Получаем $x⩾1$. В этом случае $3<x<5$ и $x\ne 4$, все такие $x$ подходят: $x\in (3;4)\cup (4;5)$.

Объединим решения двух случаев:

Ответ: $(3;4)\cup (4;5)\cup (5;6)$.