ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения: знаменатели не равны нулю. Корни трёхчлена $x^2+x-6$ по теореме Виета — числа $-3$ и $2$ (сумма $-1$, произведение $-6$), поэтому $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$. Значит, $x\ne -3$ и $x\ne 2$.

Разложим числитель первой дроби: вынесем $2x^2$ за скобку и применим формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$$2x^4-8x^3+8x^2=2x^2\left(x^2-4x+4\right)=2x^2(x-2{)}^2.$$

Тогда при $x\ne 2$ первую дробь можно сократить на $x-2$:

$$\frac{2x^2(x-2{)}^2}{(x+3)(x-2)}=\frac{2x^2(x-2)}{x+3}.$$

Условие $x\ne 2$ после сокращения из записи пропадает, поэтому держим его отдельно. Неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x^2(x-2)}{x+3}-\frac{x^3-2x^2-2x-7}{x+3}⩾1,\\ x\ne 2.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Дроби уже имеют общий знаменатель, вычтем числители:

$$\frac{2x^3-4x^2-x^3+2x^2+2x+7}{x+3}⩾1⟺\frac{x^3-2x^2+2x+7}{x+3}⩾1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^3-2x^2+2x+7-(x+3)}{x+3}⩾0⟺\frac{x^3-2x^2+x+4}{x+3}⩾0.$$

Разложим числитель на множители. Подставим $x=-1$: $-1-2-1+4=0$, значит, $x=-1$ — корень и многочлен делится на $x+1$. Выделим этот множитель группировкой:

$$x^3-2x^2+x+4=\left(x^3+x^2\right)-\left(3x^2+3x\right)+(4x+4)=(x+1)\left(x^2-3x+4\right).$$

У трёхчлена $x^2-3x+4$ дискриминант $D=9-16=-7<0$, а старший коэффициент положителен. Значит, парабола целиком лежит выше оси абсцисс и $x^2-3x+4>0$ при всех $x$. Разделим неравенство на этот положительный множитель, знак сохранится:

$$\frac{x+1}{x+3}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=-1$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=-3$ выкалываем. При больших $x$ дробь положительна, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x<-3$ или $x⩾-1$. Учтём второе условие системы $x\ne 2$: точка $2$ попадает в промежуток $[-1;+\infty )$, её выкалываем.

Ответ: $(-\infty ;-3)\cup [-1;2)\cup (2;+\infty )$.