ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражение под логарифмом положительно, основание логарифма положительно и не равно единице:

$$\{\begin{array}{l}7-6x>0,\\ 2-x>0,\\ 2-x\ne 1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x<\frac{7}{6},\\ x<2,\\ x\ne 1.\end{array}$$

Так как $\frac{7}{6}<2$, условие $x<2$ выполняется автоматически. ОДЗ: $x\in (-\infty ;1)\cup \left(1;\frac{7}{6}\right)$.

Преобразуем первый множитель. Так как $\frac{1}{9}=3^{-2}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{\frac{1}{9}}(7-6x)={\log }_{3^{-2}}(7-6x)=-\frac{1}{2}{\log }_3(7-6x).$$

Преобразуем второй множитель. Так как $\frac{1}{3}=3^{-1}$, по свойству логарифма степени и формуле перехода к новому основанию ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$:

$${\log }_{2-x}\frac{1}{3}=-{\log }_{2-x}3=-\frac{1}{{\log }_3(2-x)}.$$

Здесь ${\log }_3(2-x)\ne 0$, потому что на ОДЗ $2-x\ne 1$.

Перемножим. Минусы взаимно уничтожаются, и по той же формуле перехода $\frac{{\log }_3(7-6x)}{{\log }_3(2-x)}={\log }_{2-x}(7-6x)$:

$${\log }_{\frac{1}{9}}(7-6x)\cdot {\log }_{2-x}\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\log }_3(7-6x)}{{\log }_3(2-x)}=\frac{1}{2}{\log }_{2-x}(7-6x).$$

Неравенство на ОДЗ принимает вид

$$\frac{1}{2}{\log }_{2-x}(7-6x)⩾1⟺{\log }_{2-x}(7-6x)⩾2.$$

Запишем число $2$ как логарифм с тем же основанием: $2={\log }_{2-x}(2-x{)}^2$. Перенесём всё в левую часть:

$${\log }_{2-x}(7-6x)-{\log }_{2-x}(2-x{)}^2⩾0.$$

Применим метод рационализации. При $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $c>0$ разность ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(b-c)$. Действительно, при $a>1$ логарифм возрастает, и знак разности совпадает со знаком $b-c$, а множитель $a-1$ положителен; при $0<a<1$ логарифм убывает, и знак разности противоположен знаку $b-c$, а множитель $a-1$ отрицателен. На ОДЗ все условия выполнены ($(2-x{)}^2>0$), поэтому неравенство равносильно следующему:

$$(2-x-1)(7-6x-(2-x{)}^2)⩾0.$$

Упростим вторую скобку:

$$7-6x-\left(4-4x+x^2\right)=-x^2-2x+3=-\left(x^2+2x-3\right)=-(x+3)(x-1).$$

Корни трёхчлена $x^2+2x-3$ нашли по теореме Виета: $-3$ и $1$. Первая скобка равна $1-x=-(x-1)$. Тогда

$$-(x-1)\cdot (-(x+3)(x-1))⩾0⟺(x-1{)}^2(x+3)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули: $x=-3$ и $x=1$, неравенство нестрогое — точки закрашиваем. При $x>1$ выражение положительно. При переходе через $x=1$ знак не меняется, так как множитель $(x-1{)}^2$ стоит в чётной степени; при переходе через $x=-3$ знак меняется.

Получаем $x⩾-3$. Пересечём с ОДЗ $(-\infty ;1)\cup \left(1;\frac{7}{6}\right)$: точка $1$ выкалывается, справа промежуток обрезается числом $\frac{7}{6}$.

Ответ: $[-3;1)\cup \left(1;\frac{7}{6}\right)$.