ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x>0$ — под знаком логарифма должно стоять положительное число.

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Тогда ${\log }_3^{2}x=t^2$, и неравенство принимает вид

$${\left(t^2-2t\right)}^2+22t+24<11t^2.$$

Перенесём $11t^2$ в левую часть и заметим, что $-11t^2+22t=-11\left(t^2-2t\right)$:

$${\left(t^2-2t\right)}^2-11\left(t^2-2t\right)+24<0.$$

Выражение $t^2-2t$ встречается дважды, поэтому сделаем вторую замену $y=t^2-2t$:

$$y^2-11y+24<0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $y^2-11y+24$ — числа $3$ и $8$ (их сумма $11$, произведение $24$). Значит,

$$(y-3)(y-8)<0.$$

Неравенство строгое, точки выкалываем. Старший коэффициент положителен, поэтому между корнями произведение отрицательно:

Получаем $3<y<8$. Вернёмся к переменной $t$:

$$\{\begin{array}{l}{t}^2-2t>3,\\ t^2-2t<8\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{t}^2-2t-3>0,\\ t^2-2t-8<0.\end{array}$$

Первое неравенство. Корни трёхчлена $t^2-2t-3$ по теореме Виета — $-1$ и $3$, поэтому $(t+1)(t-3)>0$. Произведение положительно вне отрезка между корнями:

Получаем $t<-1$ или $t>3$.

Второе неравенство. Корни трёхчлена $t^2-2t-8$ — $-2$ и $4$, поэтому $(t+2)(t-4)<0$. Произведение отрицательно между корнями:

Получаем $-2<t<4$.

Пересечём решения двух неравенств:

Значит,

$$[\begin{array}{l}-2<t<-1,\\ 3<t<4.\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Запишем числа в виде логарифмов по основанию $3$: $-2={\log }_3\frac{1}{9}$, $-1={\log }_3\frac{1}{3}$, $3={\log }_{3}27$, $4={\log }_{3}81$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_3\frac{1}{9}<{\log }_{3}x<{\log }_3\frac{1}{3},\\ {\log }_{3}27<{\log }_{3}x<{\log }_{3}81.\end{array}$$

Основание $3>1$, поэтому функция $y={\log }_{3}x$ возрастает, и неравенства между логарифмами равносильны таким же неравенствам между аргументами:

$$[\begin{array}{l}\frac{1}{9}<x<\frac{1}{3},\\ 27<x<81.\end{array}$$

Все найденные значения положительны, то есть лежат в ОДЗ.

Ответ: $\left(\frac{1}{9};\frac{1}{3}\right)\cup (27;81)$.