ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Выражения под знаками логарифмов должны быть положительными:

$$\{\begin{array}{l}x+3>0,\\ x^2+6x+9>0,\\ x+2>0.\end{array}$$

По формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ имеем $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$. Квадрат положителен при всех $x\ne -3$. Условие $x+2>0$ даёт $x>-2$, а из него автоматически следуют $x>-3$ и $x\ne -3$. Значит, ОДЗ: $x>-2$.

Преобразуем первый множитель. Так как $0,25=\frac{1}{4}=4^{-1}$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ получаем

$${\log }_{0,25}(x+3)={\log }_{4^{-1}}(x+3)=-{\log }_4(x+3),$$

поэтому при возведении в квадрат минус пропадает:

$${\log }_{0,25}^2(x+3)=(-{\log }_4(x+3){)}^2={\log }_4^2(x+3).$$

На ОДЗ $x+3>0$, поэтому по свойству логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_4\left(x^2+6x+9\right)={\log }_4(x+3{)}^2=2{\log }_4(x+3).$$

Тогда первый множитель сворачивается по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$:

$${\log }_4^2(x+3)-2{\log }_4(x+3)+1=({\log }_4(x+3)-1{)}^2.$$

На ОДЗ неравенство принимает вид

$$({\log }_4(x+3)-1{)}^2\cdot {\log }_4(x+2)⩽0.$$

Первый множитель — квадрат, он либо равен нулю, либо положителен. Рассмотрим эти два случая.

1. Первый множитель равен нулю. Тогда произведение равно $0$ и неравенство выполнено. Найдём такие $x$:

$${\log }_4(x+3)=1⟺x+3=4⟺x=1.$$

Число $1$ удовлетворяет условию $x>-2$, значит, $x=1$ — решение.

2. Первый множитель положителен, то есть $x\ne 1$. Разделим обе части неравенства на положительное число — знак неравенства сохранится:

$${\log }_4(x+2)⩽0⟺{\log }_4(x+2)⩽{\log }_{4}1.$$

Основание $4>1$, поэтому функция $y={\log }_{4}t$ возрастает и большему значению логарифма соответствует больший аргумент. С учётом того, что аргумент логарифма положителен, получаем

$$0<x+2⩽1⟺-2<x⩽-1.$$

Все эти значения лежат в ОДЗ и отличны от $1$.

Объединим решения двух случаев: $x\in (-2;-1]\cup \{1\}$.

Ответ: $(-2;-1]\cup \{1\}$.