ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$$\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2-x^2⩾0,\\ x+2⩾0,\\ 4x+8⩾0.\end{array}$$

Упростим первое выражение: $(x-2{)}^2-x^2=x^2-4x+4-x^2=4-4x$. Условие $4-4x⩾0$ даёт $x⩽1$. Второе и третье условия дают $x⩾-2$. Итак, ОДЗ: $x\in [-2;1]$.

Преобразуем правую часть: $\sqrt{4x+8}=\sqrt{4(x+2)}=2\sqrt{x+2}$. Неравенство принимает вид

$$\sqrt{4-4x}+\sqrt{x+2}⩾2\sqrt{x+2}.$$

Вычтем $\sqrt{x+2}$ из обеих частей:

$$\sqrt{4-4x}⩾\sqrt{x+2}.$$

Обе части неотрицательны, а функция $y=\sqrt{t}$ возрастает. Поэтому неравенство $\sqrt{A}⩾\sqrt{B}$ равносильно системе $A⩾B$, $B⩾0$ (условие $A⩾0$ тогда выполняется само):

$$\{\begin{array}{l}4-4x⩾x+2,\\ x+2⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5x⩽2,\\ x⩾-2\end{array}\iff -2⩽x⩽\frac{2}{5}.$$

Этот отрезок лежит в ОДЗ, так как $\frac{2}{5}<1$.

Ответ: $\left[-2;\frac{2}{5}\right]$.