ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=4^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Знаменатель не равен нулю: $t\ne 32$. Неравенство принимает вид

$$t+\frac{112}{t-32}⩽0.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{t(t-32)+112}{t-32}⩽0\iff \frac{t^2-32t+112}{t-32}⩽0.$$

Найдём корни числителя: $\frac{D}{4}=16^2-112=144$, $t=16\pm 12$, то есть $t=4$ и $t=28$. Разложим числитель на множители:

$$\frac{(t-4)(t-28)}{t-32}⩽0.$$

Решим методом интервалов: нули числителя $4$ и $28$ закрашиваем, нуль знаменателя $32$ выкалываем. Правее $32$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $t⩽4$ или $28⩽t<32$. Учтём условие $t>0$:

Сделаем обратную замену. Запишем $4=4^1$, $28=4^{{\log }_{4}28}$, $32=2^5=4^{\frac{5}{2}}$. Основание $4>1$, показательная функция возрастает, поэтому знаки неравенств для показателей сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{4}^x⩽4^1,\\ 4^{{\log }_{4}28}⩽4^x<4^{\frac{5}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ {\log }_{4}28⩽x<\frac{5}{2}.\end{array}$$

Расположим точки на прямой. Так как $16<28<32$, то $2<{\log }_{4}28<\frac{5}{2}$, и в частности ${\log }_{4}28>1$.

Ответ: $(-\infty ;1]\cup \left[{\log }_{4}28;2,5\right)$.