ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: $x>0$ — тогда положительны и аргументы $9x$, $x^4$. Кроме того, знаменатель не равен нулю; это условие учтём после замены.

Упростим логарифмы. По свойствам логарифма произведения и степени (при $x>0$):

$${\log }_3(9x)={\log }_{3}9+{\log }_{3}x=2+{\log }_{3}x,{\log }_3{x}^4=4{\log }_{3}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$. Запись ${\log }_3^{2}x$ означает ${\left({\log }_{3}x\right)}^2=t^2$. Знаменатель равен $t^2-4t=t(t-4)$, поэтому $t\ne 0$ и $t\ne 4$. Неравенство принимает вид

$$\frac{2(2+t)-13}{t(t-4)}⩽1\iff \frac{2t-9}{t(t-4)}⩽1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t-9-\left(t^2-4t\right)}{t(t-4)}⩽0\iff \frac{-t^2+6t-9}{t(t-4)}⩽0.$$

В числителе вынесем $-1$ и свернём квадрат разности: $-t^2+6t-9=-(t-3{)}^2$. Умножим обе части на $-1$, сменив знак неравенства:

$$\frac{(t-3{)}^2}{t(t-4)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашиваем; множитель $(t-3{)}^2$ в чётной степени, поэтому при переходе через $3$ знак не меняется. Нули знаменателя $0$ и $4$ выкалываем.

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}t<0,\\ t=3,\\ t>4.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем $0={\log }_{3}1$, $3={\log }_{3}27$, $4={\log }_{3}81$. Основание $3>1$, логарифм возрастает, знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}1,\\ {\log }_{3}x={\log }_{3}27,\\ {\log }_{3}x>{\log }_{3}81\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=27,\\ x>81.\end{array}$$

В первой строке условие $x>0$ взято из ОДЗ.

Ответ: $(0;1)\cup \{27\}\cup (81;+\infty )$.