ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{2}x\ne 0,\\ {\log }_2{x}^2\ne 0.\end{array}$$

Второе условие даёт $x\ne 1$, третье — $x^2\ne 1$, что при $x>0$ тоже означает $x\ne 1$. Аргумент $\frac{4}{x}$ при $x>0$ положителен автоматически. Итак, ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$.

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$, где $t\ne 0$. Выразим через $t$ остальные логарифмы. По свойствам логарифма частного и степени (при $x>0$):

$${\log }_2\frac{4}{x}={\log }_{2}4-{\log }_{2}x=2-t,{\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x=2t.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{4}{t}-(2-t)⩽\frac{38}{2t}\iff \frac{4}{t}-2+t⩽\frac{19}{t}.$$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю $t$:

$$\frac{4-2t+t^2-19}{t}⩽0\iff \frac{t^2-2t-15}{t}⩽0.$$

Корни числителя по теореме Виета — $t=5$ и $t=-3$ (сумма $2$, произведение $-15$):

$$\frac{(t-5)(t+3)}{t}⩽0.$$

Решим методом интервалов: нули числителя $-3$ и $5$ закрашиваем, нуль знаменателя $0$ выкалываем. Правее $5$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $t⩽-3$ или $0<t⩽5$. Сделаем обратную замену. Запишем $-3={\log }_2\frac{1}{8}$, $0={\log }_{2}1$, $5={\log }_{2}32$. Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются, а аргумент обязан быть положительным:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{2}x⩽{\log }_2\frac{1}{8},\\ {\log }_{2}1<{\log }_{2}x⩽{\log }_{2}32\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x⩽\frac{1}{8},\\ 1<x⩽32.\end{array}$$

Оба промежутка лежат в ОДЗ.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{8}\right]\cup (1;32]$.